Question

【題目】如圖，已知一條直線過點(diǎn)（0，4），且與拋物線y= x2交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣2．

（1）求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）過線段AB上一點(diǎn)P，作PM∥x軸，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N（0，1），當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí)，MN+3MP的長度最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)A是直線與拋物線的交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為﹣2，

∴y= ×（﹣2）2=1，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，1），

設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，

將（0，4），（﹣2，1）代入得 ，

解得 ，

∴直線y= x+4，

∵直線與拋物線相交，

∴ x+4= x2，

解得：x=﹣2或x=8，

當(dāng)x=8時(shí)，y=16，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，16）

（2）如圖1，連接AC，BC，

∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2=325．

設(shè)點(diǎn)C（m，0），同理可得AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5，

BC2=（m﹣8）2+162=m2﹣16m+320，

①若∠BAC=90°，則AB2+AC2=BC2，即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320，

解得：m=﹣ ；

②若∠ACB=90°，則AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m+5+m2﹣16m+320，

解得：m=0或m=6；

③若∠ABC=90°，則AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325，

解得：m=32；

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣ ，0），（0，0），（6，0），（32，0）

（3）解：設(shè)M（a， a2），如圖2，設(shè)MP與y軸交于點(diǎn)Q，

在Rt△MQN中，由勾股定理得MN= = a2+1，

又∵點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同，

∴ +4= a2，

∴x= ，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 ，

∴MP=a﹣ ，

∴MN+3PM= +1+3（a﹣ ）=﹣ a2+3a+9，

∴當(dāng)a=﹣ =6，

又∵2≤6≤8，

∴取到最大值18，

∴當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí)，MN+3PM的長度的最大值是18．

【解析】（1）由拋物線的解析式可求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，將直線和拋物線的解析式聯(lián)立可求得交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)B作BG∥x軸，過點(diǎn)A作AG∥y軸，交點(diǎn)為G，然后分若∠BAC=90°，則AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，則AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，則AB2+BC2=AC2三種情況求得m的值，從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M（a，a2），MP與y軸交于點(diǎn)Q，在Rt△MQN中依據(jù)勾股定理可求得MN的長（用含a的式子表示），然后根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同得到x=，從而得到MN+3PM關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系是，最后，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得到MN+3PM的長度的最大值.