Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，過點(diǎn)C的直線交拋物線于另一點(diǎn)E，若∠ACE=60°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（3）如圖2，直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，求△DPQ面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）△DPQ面積的最小值為

【解析】

（1）由拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)A（1，0），B（3，0），可代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解；

（2）過點(diǎn)A作AF⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥x軸交x軸于點(diǎn)G，可證明△AOC∽△FGA，利用60°角的銳角三角函數(shù)值和比例線段可求出AG和FG的長，則F點(diǎn)坐標(biāo)為（10，），求得直線CF的解析式，與拋物線方程聯(lián)立即求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)D作DM∥y軸交PQ于點(diǎn)M，由拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)可知DM=2，若△DPQ面積有最小值，則底邊是定值，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)之差的絕對值最�。�聯(lián)立直線與拋物線方程可用k表示出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)之差的絕對值，即可得解．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)

∴

解得：a=，b=；

∴所求拋物線的解析式為：；

（2）如圖1所示，過點(diǎn)A作AF⊥AC交CE的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥x軸交x軸于點(diǎn)G，

∵∠COA=∠CAF=∠FGA=90°，

∴∠OCA=∠GAF，∠OAC=∠GFA

∴△AOC∽△FGA，

∴

又∵△CAF是直角三角形，∠ACE=60°

∴，

∴，

∵OC=3，OA=1，

∴FG=，AG=9，

∴F，

設(shè)直線CF的解析式為：y=mx+n，

將分別代入上式，

得，

解得：，

∴直線CF的解析式為：，

聯(lián)立直線CF與拋物線的解析式得

∴，

解得：（不符合題意），，

∴所求點(diǎn)E的坐標(biāo)為：；

（3）如圖2，過點(diǎn)D作DM∥y軸交PQ于點(diǎn)M，

∵=

∴，

把x=2代入直線y=kx-2k+得y=，

∴DM=，

∵，

整理得，

∴P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2為方程的兩根，

∴==，

當(dāng)k=0時(shí)，的最小值為8，此時(shí)|x1-x2|的最小值為2．

∵=|x1-x2|．

∴△DPQ面積的最小值為：．