已知:如圖,AB、CD是⊙O的兩條互相垂直的弦,E為垂足,P是CD延長線上的一點(diǎn),PA精英家教網(wǎng)交⊙O于F,GF切⊙O于F且與CP交于G,CH切⊙O于C且與AB的延長線交于H,如果GP2=GD•GC,AD平分∠BAP并交HP于M.
求證:(1)AB為⊙O的直徑;
(2)MH=MP;
(3)
AH
AB
=
AE
AF
(證明過程中最好用數(shù)字表示角).
分析:(1)連接BF,由切割線定理和已知條件可得:GP=GF,則∠1=∠2=∠3,再由弦切角定理得:∠3=∠4,從而推出∠1=∠4,又根據(jù)AB⊥CD,推得∠1+∠PAB=90°,證出∠AFB=90°,即AB為⊙O的直徑;
(2)連接AC,根據(jù)題意證明∠5=∠7,則△ACH≌△ADP,所以AH=AP,又AD平分∠BAP,根據(jù)等腰三角形性質(zhì):頂角的平分線也是底邊的中線得到MH=MP.
(3)可證明△AFD∽△ADP,則
AD
AP
=
AF
AD
,又AP=AH,則AD2=AH•AF,再證明△AED∽△ADB,則
AE
AD
=
AD
AB
,所以AD2=AE•AB,即得AH•AF=AE•AB,再化成比例式
AH
AB
=
AE
AF
解答:精英家教網(wǎng) 證明:(1)連接BF,
∵GF是⊙O切線,GDC是⊙O的割線,∴GF2=GD•GC,
∵GP2=GD•GC,∴∠1=∠2,∠2=∠3,
又FG切⊙O于F,∴∠3=∠4,
∴∠1=∠4,又AB⊥CD于E,∴∠1+∠PAB=90°(2分)
∴∠AFB=90°,
∴AB為⊙O的直徑.(3分)

(2)連接AC.
∵AB為⊙O的直徑,AB⊥CD.
AC
=
AD
,
BC
=
BD
,∴AC=AD,∠5=∠6
又AD平分∠BAF,∴∠6=∠7,∴∠5=∠7(4分)
∵CH切⊙O于C,∴∠8=∠9,∴∠ACH=∠ADP,
∴△ACH≌△ADP(5分)
∴AH=AP,又AD平分∠BAP,
∴MH=MP.(6分)

(3)連接DF、DB,
∵∠1=∠4,∠4=∠10,∴∠1=∠10,(7分)
∴△AFD∽△ADP,∴
AD
AP
=
AF
AD
,
∵AP=AH,
∴AD2=AH•AF.(8分)
又AB為⊙O的直徑,∴∠ADB=90°,
又AB⊥CD于E,
∴△AED∽△ADB,∴
AE
AD
=
AD
AB

∴AD2=AE•AB.(9分)
又AD2=AH•AF,∴AE•AB=AH•AF,
AH
AB
=
AE
AF
.(10分)
點(diǎn)評:本題考查的是相似三角形的應(yīng)用和切割線定理,切線的性質(zhì)定理,等腰三角形的性質(zhì)定理.
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AC
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