Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與反比例y= （k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點．

（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；
（2）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（1，a）在一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象上，

∴a=﹣1+3=2，

∴點A（1，2）．

∵點A（1，2）在反比例y= （k為常數(shù)，且k≠0）的圖象上，

∴k=1×2=2，

∴反比例函數(shù)的表達式為y= ．

聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)關(guān)系式成方程組，得：

，解得： ， ，

∴點B（2，1）

（2）

解：作B點關(guān)于x軸的對稱點B′（2，﹣1），連接AB’，交x軸于點P，連接PB，如圖所示．

∵點B、B′關(guān)于x軸對稱，

∴PB=PB′．

∵點A、P、B′三點共線，

∴此時PA+PB取最小值．

設直線AB′的函數(shù)表達式為y=mx+n（m≠0），

將A（1，2）、B（2，﹣1）代入y=mx+n，

，解得： ，

∴直線AB′的函數(shù)表達式為y=﹣3x+5．

當y=﹣3x+5=0時，x= ，

∴滿足條件的點P的坐標為（ ，0）．

【解析】（1）將x=1代入直線AB的函數(shù)表達式中即可求出點A的坐標，由點A的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出反比例函數(shù)的表達式，聯(lián)立兩函數(shù)表達式成方程組，通過解方程組即可求出點B的坐標；（2）作B點關(guān)于x軸的對稱點B′（2，﹣1），連接AB’，交x軸于點P，連接PB，由兩點之間線段最短可得出此時PA+PB取最小值，根據(jù)點A、B′的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的函數(shù)表達式，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標．