Question

【題目】如圖（1），拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（x1,0）、B（x2,0）兩點(diǎn)（x1<0<x2），與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),若拋物線的對稱軸為直線x=1,且tan∠OAC=3.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)D是拋物線BC段上的動點(diǎn)，且點(diǎn)D到直線BC距離為 ，求點(diǎn)D的坐標(biāo)
（3）如圖（2），若直線y=mx+n經(jīng)過點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)E(0, － ),點(diǎn)P是直線AE下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AE于點(diǎn)M,點(diǎn)N在線段AM延長線上，且PM=PN,是否存在點(diǎn)P，使△PMN的周長有最大值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PMN的周長的最大值；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

在Rt△AOC中，tan OAC= =3，且OC=3，

∴OA=1，A（-1，0）

∵拋物線的對稱軸為直線x=1

∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求： ，解得x=3

∴B（3，0）

∴可設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a（x-3）（x+1）

將C（0，-3）代入上式中，a×（-3）=-3，

解得：a=1

∴拋物線的表達(dá)式為：y=（x-3）（x+1）=x2-2x-3

（2）

∵B（3，0）、C（0，-3）

∴

∴

設(shè)D（x，x2-2x-3）.連接OD.

∴

=

=

=

=3

解得：x1=1，x2=2

∴D（1，-4）（2，-3）

（3）

由A（-1,0）、E（0，- ）可求：

直線AE的表達(dá)式為：y= ，AE=

設(shè)p（t，t2-2t-3），則M（t， t ）

∴PM= t -（t2-2t-3）=- t2+

作PG⊥MN于G，

由PM=PN得：MG=NG= MN

由△PMG∽△AEO有： ，即

∴MG= PM=NG

∴C△PMN=PM+PN+MN= PM= （- t2+ ）=- t2+ t+6

∴當(dāng)t= 時(shí)，C△PMN有最大值為 ，此時(shí)P

【解析】（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)已知，tan∠OAC，據(jù)此求出A點(diǎn)坐標(biāo)；對稱軸是x=1，據(jù)此求出B點(diǎn)坐標(biāo)。（2）B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)是已知，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求出BC的長度，點(diǎn)D到直線BC的距離為 ，根據(jù) BCD的面積求出D點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）已知A、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以先求出直線AE的表達(dá)式。易知P、M的橫坐標(biāo)相同，分別設(shè)出P、M兩點(diǎn)。用PM分別表示出PN，MN，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出 PMN周長的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．