Question

【題目】如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC. 已知AB=2，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.

(1)用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)；

(2)求AC+CE的值最小；

(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論,請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值。

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最小，最小值為；(3)13.

【解析】

（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最��；
（3）由（1）（2）的結(jié)果可作BD=12，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式的最小值，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值．

解：（1）由線段的和差，得
BC=（8-x）．
由勾股定理，得
AC+CE== ；
（2）當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最小，如圖：作EF⊥AB于F點(diǎn)．，
，
四邊形BDEF是矩形，
BF=DE=1，EF=BD=8，
AF=AB+BF=2+1=3，
AE== =，

∴最小值為；

（3）如下圖所示，作BD=12，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，設(shè)BC=x，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式的最小值．
過點(diǎn)A作AF⊥DE交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，得矩形ABDF，
則AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE===13，
即的最小值為13．

故答案為：(1) ；(2) 當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最小，最小值為；(3)13.