Question

閱讀下列材料：
問題：在平面直角坐標(biāo)系中，一張矩形紙片OBCD按圖1所示放置。已知OB=10，BC=6，
將這張紙片折疊，使點(diǎn)O落在邊CD上，記作點(diǎn)A，折痕與邊OD（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)E，與邊OB（含端點(diǎn)）或其延長線交于點(diǎn)F，求點(diǎn)A的坐標(biāo).
小明在解決這個(gè)問題時(shí)發(fā)現(xiàn)：要求點(diǎn)A的坐標(biāo)，只要求出線段AD的長即可，連接OA，設(shè)折痕EF所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，于是有，所以在Rt△EOF中，得到，在Rt△AOD中，利用等角的三角函數(shù)值相等，就可以求出線段DA的長（如圖1）

請(qǐng)回答：
（1）如圖1，若點(diǎn)E的坐標(biāo)為，直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在圖2中，已知點(diǎn)O落在邊CD上的點(diǎn)A處，請(qǐng)畫出折痕所在的直線EF（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）；
參考小明的做法，解決以下問題：
（3）將矩形沿直線折疊，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（4）將矩形沿直線折疊，點(diǎn)F在邊OB上（含端點(diǎn)），直接寫出的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）作圖見解析；（3）（3，6）；（4）.

試題分析：（1）根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)以及勾股定理求解即可.
（2）作AD的垂直平分線交OD于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F，連接EF，EF即為所求.
（3）過點(diǎn)F作FG⊥DC于點(diǎn)G，通過證明△AEF≌△OEF和△DAE∽△GFAF，根據(jù)全等三角形和相似三角形的性質(zhì)求解.
（4）由于題意中，與k有關(guān)的是tan∠AOD，即與Rt△AOD有關(guān)，所以我們求解k的取值范圍可以轉(zhuǎn)化為求DA的長度的范圍.
試題解析：（1）∵根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)，AE=OE=4，DE=2，
∴根據(jù)勾股定理，得.
∴.
（2）作圖如下：

（3）如圖，過點(diǎn)F作FG⊥DC于點(diǎn)G，
∵EF的解析式為，
∴.∴OE=n，OF=2n.
∵△AEF≌△OEF，∴AE=OE=n，AF=OF=2n.
∵點(diǎn)A在DC上，且∠EAF=90⁰，∴∠1+∠2=90⁰.
又∵∠2+∠3==90⁰，∴∠1=∠2.
∴△DAE∽△GFAF.∴.
又∵FG=CB=6，∴.∴DA=3.
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，6）.

（4）如圖，過點(diǎn)F作FG⊥DC于點(diǎn)G，
∵EF的解析式為，
∴.∴OE=n，OF=.
∵△AEF≌△OEF，∴AE=OE=n，AF=OF=.
∵點(diǎn)A在DC上，且∠EAF=90⁰，∴∠1+∠2=90⁰.
又∵∠2+∠3==90⁰，∴∠1=∠2.
∴△DAE∽△GFAF.∴.
又∵FG=CB=6，∴.∴DA=.
當(dāng)DA最小時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，此時(shí)AF=OB=10，BC=6，得AC=8，DA=2，即；
當(dāng)DA最大時(shí)，DA=OD=6，即.
∴.