Question

已知△ABC，（1）如圖1，若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，則∠P=90°+

1

2

∠A；
（2）如圖2，若P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P=90°-∠A；
（3）如圖3，若P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P=90°-

1

2

∠A．
上述說法正確的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

分析：用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理證明，證明時(shí)可運(yùn)用反例．

解答：解：（1）若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，
則∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCB=

1

2

∠ACB
則∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）
在△BCP中利用內(nèi)角和定理得到：
∠P=180-（∠PBC+∠PCB）=180-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，
故成立；
（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°時(shí)，結(jié)論不成立；
（3）若P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，
則∠PBC=

1

2

∠FBC=

1

2

（180°-∠ABC）=90°-

1

2

∠ABC，
∠BCP=

1

2

∠BCE=90°-

1

2

∠ACB
∴∠PBC+∠BCP=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠PBC+∠BCP=90°+

1

2

∠A，
在△BCP中利用內(nèi)角和定理得到：
∠P=180-（∠PBC+∠PCB）=180-

1

2

（180°+∠A）=90°-

1

2

∠A，
故成立．
∴說法正確的個(gè)數(shù)是2個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：利用特例，反例可以比較容易的說明一個(gè)命題是假命題．