Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+4(a≠0)與軸交于點(diǎn)B (－3 ，0) 和C (4 ，0)與軸交于點(diǎn)A．

(1) a = ，b = ；

(2) 點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿AB向B運(yùn)動，同時，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿BC向C運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)B點(diǎn)時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動．t為何值時，以B、M、N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

(3) 點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一點(diǎn)，若BP恰好平分∠ABC，請直接寫出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），；(2)；(3)

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得出即可；

（2）分三種情況：①當(dāng)BM=BN時，即5-t=t，②當(dāng)BM=NM=5-t時，過點(diǎn)M作ME⊥OB，因?yàn)?/span>AO⊥BO，所以ME∥AO，可得：即可解答；③當(dāng)BE=MN=t時，過點(diǎn)E作EF⊥BM于點(diǎn)F，所以BF=BM=（5-t），易證△BFE∽△BOA，所以即可解答；

（3）設(shè)BP交y軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，因?yàn)?/span>BP恰好平分∠ABC，所以OG=GH，BH=BO=3，所以AH=2，AG=4-OG，在Rt△AHG中，由勾股定理得：OG=，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，易證△BGO∽△BPD，所以，即可解答.

解：解：（1）∵拋物線過點(diǎn)B (－3 ，0) 和C (4 ，0)，
∴ ，
解得：；

（2）∵B (－3 ，0)，y=ax2+bx+4，∴A(0，4)，0A=4，OB=3，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB=5，

t秒時，AM=t，BN=t，BM=AB-AM=5-t，

①如圖：當(dāng)BM=BN時，即5-t=t，解得：t= ;

,

②如圖，當(dāng)BM=NM=5-t時，過點(diǎn)M作ME⊥OB，因?yàn)?/span>BN=t，由三線合一得：BE=BN=t，又因?yàn)?/span>AO⊥BO，所以ME∥AO，所以，即 ，解得：t=；

③如圖：當(dāng)BE=MN=t時，過點(diǎn)E作EF⊥BM于點(diǎn)F，所以BF=BM=（5-t），易證△BFE∽△BOA，所以，即 ，解得：t= .

(3)設(shè)BP交y軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，因?yàn)?/span>BP恰好平分∠ABC，所以OG=GH，BH=BO=3，所以AH=2，AG=4-OG，在Rt△AHG中，由勾股定理得：OG=，設(shè)P（m，-m2+m+4），因?yàn)?/span>GO∥PD，∴△BGO∽△BPD，∴ ，即 ，解得：m1=，m2=-3(點(diǎn)P在第一象限，所以不符合題意，舍去)，m1=時，-m2+m+4=

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為