Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)在（0，2），（0，3）之間（包含端點(diǎn)），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），則下列結(jié)論：

①4a+2b＜0；

②﹣1≤a≤；

③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，a+b≥am2+bm總成立；

④關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（　　）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)可得出b=-2a，進(jìn)而可得出4a+2b=0，結(jié)論①錯(cuò)誤；
②利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合b=-2a可得出a=-，再結(jié)合拋物線與y軸交點(diǎn)的位置即可得出-1≤a≤-，結(jié)論②正確；
③由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及a＜0，可得出n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，進(jìn)而可得出對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，a+b≥am2+bm總成立，結(jié)論③正確；
④由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可得出拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n只有一個(gè)交點(diǎn)，將直線下移可得出拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而可得出關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合④正確．

：①∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），
∴-=1，
∴b=-2a，
∴4a+2b=0，結(jié)論①錯(cuò)誤；

②∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），
∴a-b+c=3a+c=0，
∴a=-．
又∵拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)在（0，2），（0，3）之間（包含端點(diǎn)），
∴2≤c≤3，
∴-1≤a≤-，結(jié)論②正確；
③∵a＜0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），
∴n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，a+b≥am2+bm總成立，結(jié)論③正確；
④∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），
∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n只有一個(gè)交點(diǎn)，
又∵a＜0，
∴拋物線開口向下，
∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合④正確．
故選：C．