【題目】如圖,正方形 ABCD 中,AB4,點 E為邊AD上一動點,連接 CE,以 CE為邊,作正方形CEFG(點D、FCE所在直線的同側(cè)),HCD中點,連接 FH

1)如圖 1,連接BE,BH,若四邊形 BEFH 為平行四邊形,求四邊形 BEFH 的周長;

2)如圖 2,連接 EH,若 AE1,求EHF 的面積;

3)直接寫出點E在運動過程中,HF的最小值.

【答案】18;(2 ;(33

【解析】

1)由平行四邊形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得EC=EF=BH,BC=DC,可證RtBHCRtCED,可得CH=DE,由“SAS”可證BE=EC,可得BE=EF=HF=BH=EC,由勾股定理可求BH的長,即可求四邊形BEFH的周長;
2)連接DF,過點FFMAD,交AD延長線于點M,由“AAS”可證△EFM≌△CED,可得CD=EM=4,DE=FM=3,由三角形面積公式可求解;
3)過點FFNCD的延長線于點N,設(shè)AE=x=DM,則DE=4-x=FMNH=4-x+2=6-x,由勾股定理可求HF的長,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求HF的最小值.

解:(1)∵四邊形BEFH為平行四邊形
BE=HF,BH=EF
∵四邊形EFGC,四邊形ABCD都是正方形
EF=EC,BC=CD=4=AD
BH=EC,且BC=CD
RtBHCRtCEDHL
CH=DE
HCD中點,
CH=2=DE
AE=AD-DE=2=DE,且AB=CD,∠BAD=ADC=90°
RtABERtDCESAS
BE=EC
BE=EF=HF=BH=EC
CH=2,BC=4
BH= = =2
∴四邊形BEFH的周長=BE+BH+EF+FH=8
2)如圖2,連接DF,過點FFMAD,交AD延長線于點M,

AE=1,
DE=3
∵∠FEM+CEM=90°,∠CEM+ECD=90°
∴∠FEM=ECD,且CE=EF,∠EDC=EMF=90°
∴△EFM≌△CEDAAS
CD=EM=4,DE=FM=3
DM=1,
SEFH=SEFD+SEDH+SDHF=×3×3+×3×2+×2×1= ;
3)如圖3,過點FFNCD的延長線于點N,

由(2)可知:△EFM≌△CED
CD=EM,DE=FM,
CD=AD=EM,
AE=DM,
設(shè)AE=x=DM,則DE=4-x=FM
FNCD,FMAD,NDAD
∴四邊形FNDM是矩形
FN=DM=x,FM=DN=4-x
NH=4-x+2=6-x
RtNFH中,HF= = =
∴當(dāng)x=3時,HF有最小值==3

故答案為:(18;(2 ;(33

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數(shù)據(jù)段

頻數(shù)

頻率

3040

10

0.05

4050

36

c

5060

a

0.39

6070

b

d

7080

20

0.10

總計

200

1

1)表中ab、c、d分別為:a   ; b    c   ; d   

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