【題目】如圖,正方形 ABCD 中,AB=4,點 E為邊AD上一動點,連接 CE,以 CE為邊,作正方形CEFG(點D、F在CE所在直線的同側(cè)),H為CD中點,連接 FH.
(1)如圖 1,連接BE,BH,若四邊形 BEFH 為平行四邊形,求四邊形 BEFH 的周長;
(2)如圖 2,連接 EH,若 AE=1,求△EHF 的面積;
(3)直接寫出點E在運動過程中,HF的最小值.
【答案】(1)8;(2) ;(3)3 .
【解析】
(1)由平行四邊形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得EC=EF=BH,BC=DC,可證Rt△BHC≌Rt△CED,可得CH=DE,由“SAS”可證BE=EC,可得BE=EF=HF=BH=EC,由勾股定理可求BH的長,即可求四邊形BEFH的周長;
(2)連接DF,過點F作FM⊥AD,交AD延長線于點M,由“AAS”可證△EFM≌△CED,可得CD=EM=4,DE=FM=3,由三角形面積公式可求解;
(3)過點F作FN⊥CD的延長線于點N,設(shè)AE=x=DM,則DE=4-x=FM,NH=4-x+2=6-x,由勾股定理可求HF的長,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求HF的最小值.
解:(1)∵四邊形BEFH為平行四邊形
∴BE=HF,BH=EF
∵四邊形EFGC,四邊形ABCD都是正方形
∴EF=EC,BC=CD=4=AD
∴BH=EC,且BC=CD
∴Rt△BHC≌Rt△CED(HL)
∴CH=DE
∵H為CD中點,
∴CH=2=DE
∴AE=AD-DE=2=DE,且AB=CD,∠BAD=∠ADC=90°
∴Rt△ABE≌Rt△DCE(SAS)
∴BE=EC
∴BE=EF=HF=BH=EC
∵CH=2,BC=4
∴BH= = =2
∴四邊形BEFH的周長=BE+BH+EF+FH=8;
(2)如圖2,連接DF,過點F作FM⊥AD,交AD延長線于點M,
∵AE=1,
∴DE=3
∵∠FEM+∠CEM=90°,∠CEM+∠ECD=90°
∴∠FEM=∠ECD,且CE=EF,∠EDC=∠EMF=90°
∴△EFM≌△CED(AAS)
∴CD=EM=4,DE=FM=3,
∴DM=1,
∴S△EFH=S△EFD+S△EDH+S△DHF=×3×3+×3×2+×2×1= ;
(3)如圖3,過點F作FN⊥CD的延長線于點N,
由(2)可知:△EFM≌△CED
∴CD=EM,DE=FM,
∴CD=AD=EM,
∴AE=DM,
設(shè)AE=x=DM,則DE=4-x=FM,
∵FN⊥CD,FM⊥AD,ND⊥AD
∴四邊形FNDM是矩形
∴FN=DM=x,FM=DN=4-x
∴NH=4-x+2=6-x
在Rt△NFH中,HF= = =
∴當(dāng)x=3時,HF有最小值==3 .
故答案為:(1)8;(2) ;(3)3 .
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【題目】隨著車輛的增加,交通違規(guī)的現(xiàn)象越來越嚴重,交警對人民路某雷達測速區(qū)檢測到的一組汽車的時速數(shù)據(jù)進行整理(速度在30﹣40含起點值30,不含終點值40),得到其頻數(shù)及頻率如表:
數(shù)據(jù)段 | 頻數(shù) | 頻率 |
30﹣40 | 10 | 0.05 |
40﹣50 | 36 | c |
50﹣60 | a | 0.39 |
60﹣70 | b | d |
70﹣80 | 20 | 0.10 |
總計 | 200 | 1 |
(1)表中a、b、c、d分別為:a= ; b= ; c= ; d=
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)如果汽車時速不低于60千米即為違章,則違章車輛共有多少輛?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以△ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個等邊三角形,即△ABD、△BCE、△ACF,請回答下列問題:
(1)四邊形ADEF是什么四邊形?
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時,四邊形ADEF是矩形?
(3)當(dāng)△ABC滿足什么條件時,以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與軸、軸分別交于點、,動點從點出發(fā),沿軸負方向以每秒1個單位長度的速度運動,同時動點從點出發(fā),沿射線方向以每秒2個單位長度的速度運動,過點作于點,連接、,以、為鄰邊構(gòu)造平行四邊形,設(shè)點運動的時間為 s.
(1)當(dāng)點在線段上時,用含的代數(shù)式表示、的長.
(2)在運動過程中,①當(dāng)點落在軸上時,求出滿足條件的的值;②當(dāng)點落在內(nèi)部(不包括邊界)時,直接寫出的取值范圍.
(3)作點關(guān)于軸的對稱點,連接,在運動過程中,是否存在某時刻使過、、三點的圓與三邊中的一條邊相切?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,點 E、F 分別在AB、CD上,EF∥BC,EF交BD于點G.若EG=5,DF=2,則圖中兩塊陰影部分的面積之和為______.
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【題目】如圖,分別以Rt△ABC的斜邊AB,直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE,F為AB的中點,DE,AB相交于點G.連接EF,若∠BAC=30°,下列結(jié)論:①EF⊥AC;②四邊形ADFE為菱形;③AD=4AG;④△DBF≌△EFA.則正確結(jié)論的序號是( )
A.①③B.②④C.①③④D.②③④
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【題目】已知下列四個應(yīng)用題:①現(xiàn)有60個零件的加工任務(wù),甲單獨每小時可以加工4個零件,乙單獨每小時可以加工6個零件.現(xiàn)甲乙兩人合作,問兩人開始工作幾小時后還有20個零件沒有加工?②甲乙兩人從相距的兩地同時出發(fā),相向面行,甲的速度是,乙的速度是,問經(jīng)過幾小時后兩人相遇后又相距?③甲乙兩人從相距的兩地相向面行,甲的速度是,乙的速度是,如果甲先走了后,乙再出發(fā),問乙出發(fā)后幾小時兩人相遇?④甲乙兩人從相距的兩地同時出發(fā),背向而行,甲的速度是,乙的速度是,問經(jīng)過幾小時后兩人相距?其中,可以用方程表述題目中對應(yīng)數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題序號是( )
A.①②③④B.①③④C.②③④D.①②
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,正方形OABC的頂點A,C分別在x軸,y軸上,OA=3.
(1)求直線OB的表達式;
(2)若直線y=x+b與該正方形有兩個公共點,請直接寫出b的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系xOy中,直線y=x+b與直線y=x交于點A(m,1).與y軸交于點B
(1)求m的值和點B的坐標;
(2)若點C在y軸上,且△ABC的面積是1,請直接寫出點C的坐標.
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