Question

下表給出了代數(shù)式x²+bx+c與x的一些對應(yīng)值：

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
x2+bx+c	…		3		-1		3	…

（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，確定b、c的值，并填齊表格空白處的對應(yīng)值；
（2）設(shè)y=x²+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，P為線段AB上一動點(diǎn)，過P點(diǎn)作PE∥AC交BC于E，連接PC，當(dāng)△PEC的面積最大時，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）可先任取兩組已知的數(shù)據(jù)求出拋物線y=x²+bx+c的解析式，然后將x=-1，x=1，x=3的值分別代入拋物線的解析式中，即可求出y的值，即x²+bx+c的值．
（2）本題可先求出△PEC的面積和P點(diǎn)坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．由于三角形PEC的面積無法直接求出，因此可用S_△PEC=S_△BCP-S_△BPE來求．設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出BP的長，那么關(guān)鍵就是△PBE的高，可過E作x軸的垂線，然后根據(jù)相似三角形BPE和BAC來求出△PBE的高，進(jìn)而可根據(jù)上面分析的△PEC面積的求法得出關(guān)于S與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值以及對應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)x=0和x=4時，均有函數(shù)值y=3，
∴函數(shù)的對稱軸為x=2
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）
即對應(yīng)關(guān)系滿足y=（x-2）²-1，
∴y=x²-4x+3，
∴當(dāng)x=-1時，y=8；x=1時，y=0；x=3時，y=0．

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
x2+bx+c	…	8	3	0	-1	0	3	…

（2分）

（2）解：函數(shù)圖象與x軸交于A（1，0）、B（3，0）；
與y軸交于點(diǎn)C（0，3），

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則PB=3-x，
∴S_△BCP=

3

2

（3-x），
∵PE∥AC，
∴△BEP∽△BCA作EF⊥OB于F，
∴

BP

BA

=

EF

CO

，
即

3-x

2

=

EF

3

，
∴EF=

3

2

（3-x），
∴S_△BPE=

1

2

BP•EF=

3

4

（3-x）²
∵S_△PEC=S_△BCP-S_△BPE
∴S_△PEC=

3

2

（3-x）-

3

4

（3-x）²
S_△PEC=-

3

4

x²+3x-

9

4

=-

3

4

（x-2）²+

3

4

∴當(dāng)x=2時，y_最大=

3

4

∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形的面積求法、三角形相似等重要知識點(diǎn)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．（不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．