Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(，0)，點B(0，2)，點C是線段OA的中點．
（1）點P是直線AB上的一個動點，當PC+PO的值最小時，
①畫出符合要求的點P（保留作圖痕跡）；
②求出點P的坐標及PC+PO的最小值；
（2）當經(jīng)過點O、C的拋物線y=ax²+bx+c與直線AB只有一個公共點時，求a的值并指出這個公共點所在象限．

Answer 1

（1）①作圖見解析；②（，1）；（2）當時，公共點在第三象限， 當時，公共點在第二象限．

解析試題分析：（1）①根據(jù)軸對稱的性質，作點C關于直線AB的對稱點D，連接OD，OD與直線AB的交點P 即為所求.
②應用待定系數(shù)法求出直線AB和直線OD的表達式，聯(lián)立二者即為所求.
（2）根據(jù)拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過點O、C，得出解析式為，根據(jù)拋物線與直線只有一個公共點得到的根的差別式等于0，從而求得a的值，進而求得交點坐標，判斷出其所在象限.
（1）①如圖1．

②如圖2，作DF⊥OA于點F，根據(jù)題意，得AC=CO=，∠BAO=30°，CE=DE，
∴ CD=，CF=，DF=．∴ D（，）．
求得直線AB的表達式為，直線OD的表達式為，
∴ P（，1）．
在△DFO中，可求得 DO=3．∴PC+PO的最小值為3．

（2）∵拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過點O、C，
∴．
由題意，得 ．     
整理，得 ．
∵．∴．
當時，公共點在第三象限， 當時，公共點在第二象限．
考點：1.一次函數(shù)和二次函數(shù)綜合題；2.動點問題；3.軸對稱的應用（最短線路問題）；4．待定系數(shù)法的應用，5.曲線上點的坐標與方程的關系；6.含30度角直角三角形的性質；7.一元二次方程根的判別式的應用；8．平面直角坐標系中各象限點的特征.