Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，點(diǎn)D在y軸上，點(diǎn)E在x軸上，在△ABC中，點(diǎn)A，C在x軸上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求畫圖（保留作圖痕跡）：

（1）將△ODE繞O點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△OMN（其中點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N），畫出△OMN；

（2）將△ABC沿x軸向右平移得到△A′B′C′（其中點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，B′，C′），使得B′C′與（1）中的△OMN的邊NM重合；

（3）求OE的長．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）6.

【解析】

試題（1）以點(diǎn)O為圓心，以OE為半徑畫弧，與y軸正半軸相交于點(diǎn)M，以OD為半徑畫弧，與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)N，連接MN即可.

（2）以M為圓心，以AC長為半徑畫弧與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)A′，B′與N重合，C′與M重合，然后順次連接即可.

（3）設(shè)OE=x，則ON=x，作MF⊥A′B′于點(diǎn)F，判斷出B′C′平分∠A′B′O，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等和角平分線的對稱性可得B′F=B′O=OE=x，F C′="O" C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可．

試題解析：解：（1）△OMN如圖所示.

（2）△A′B′C′如圖所示．

（3）設(shè)OE=x，則ON=x，如答圖，過點(diǎn)M作MF⊥A′B′于點(diǎn)F，

由作圖可知：B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥O B′，

∴B′F=B′O=OE=x，F C′="O" C′=OD=3，

∵A′C′=AC=5，∴.∴A′B′=x+4，A′O=5+3=8.

在Rt△A′B′O中，，解得x=6.

∴OE=6．