Question

（本題滿分14分 第（1）小題4分，第（2）小題4分，第（3）小題6分）
已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝15， cos∠A＝．點(diǎn)M在AB邊上，AM＝2MB，點(diǎn)P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PA＝x．

（1）求底邊BC的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，聯(lián)接MP、MO、OP，設(shè)四邊形AMOP的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并出寫出x的取值范圍；
（3）把△MPA沿著直線MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一條邊（折痕邊PM除外）與AC垂直？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）BC＝3
（2）y ＝x＋． 0＜x≤15）
（3）x＝2或5或14時(shí)滿足△MPN的一條邊與AC垂直

解析試題分析：解：（1）作BH⊥AC于點(diǎn)H（如圖一），

∵在Rt△ABH中，cos∠A＝，AB＝15，
∴AH＝12………………………………………………（1分）
∴BH＝9．………………………………………………（1分）
∵AC＝15
∴CH＝3．………………………………………………（1分）
∵BC²＝BH²＋CH²，∴BC²＝9²＋3²＝90，∴BC＝3．…（1分）
（2）作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F（如圖一），
∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴OE＝OF＝BH＝．
∵AM＝2MB，AB＝AC＝15，∴AM＝10，BM＝5．
∵PA＝x，∴PC＝15－x，
∴y ＝ S_△ABC－S_△BOM－S_△COP＝BH·AC―OE·BM―OF·PC
＝×9×15－－…………………（1+1分）
＝x＋．…………………………………（1分）
定義域：（0＜x≤15）．…………………………… （1分）
（3）①當(dāng)PN⊥AC時(shí)（如圖二），作MG⊥AC于點(diǎn)G，

∵在Rt△AMG中，cos∠A＝，AM＝10
∴AG＝8，∴MG＝6．
①若點(diǎn)P₁在AG上，由折疊知：∠AP₁M＝135°，∴∠MP₁G＝45°．
∵M(jìn)G⊥AC，∴P₁G＝MG＝6，………（1分）∴AP₁＝AG－P₁G＝2．…………（1分）
②若點(diǎn)P₂在CG上，由折疊知：∠AP₂M＝45°．
∵M(jìn)G⊥AC，∴P₂G＝MG＝6，∴AP₂＝AG＋P₂G＝14．…………（2分）
③當(dāng)MN⊥AC時(shí)（如圖三），

由折疊知：∠AMP₃＝∠NMP₃，P₃N₃＝AP₃＝x，MN₃＝MA＝10，
∴P₃G＝8－x，GN₃＝4．
∵P₃N₃²＝P₃G²＋GN₃²，∴x²＝（8－x）²＋4²，∴x＝5．……（2分）
綜上所述，x＝2或5或14時(shí)滿足△MPN的一條邊與AC垂直．
考點(diǎn)：三角函數(shù)應(yīng)用
點(diǎn)評(píng)：本題的考查在于建立三角函數(shù)模型，主要考查函數(shù)的應(yīng)用。解決此類問題通常有幾個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．