Question

數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行線CF于點F，求證：AE＝EF

經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連結(jié)ME，則AM＝EC，易證△AME≌△ECF，所以AE＝EF．

在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：

(1)小穎提出：如圖，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上(除B，C外)的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

(2)小華提出：如圖，點E是BC的延長線上(除C點外)的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE＝EF”仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)正確　　(1分) 　　證明：在AB上取一點M，使AM＝EC，連結(jié)ME，　　(2分) 　　∴BM＝BE．∴∠BME＝45°．∴∠AME＝135°． 　　∵CF是外角平分線， 　　∴∠DCF＝45° 　　∴∠ECF＝135° 　　∴∠AME＝∠ECF 　　∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋∠CEF＝90° 　　∴∠BAE＝∠CEF． 　　∴△AME≌△ECF(ASA)　　(5分) 　　∴AE＝EF　　(6分) 　　(2)正確　　(7分) 　　證明： 　　在BA的延長線上取一點N， 　　使AN＝CE，連接NE　　(8分) 　　∴BN＝BE． 　　∴∠N＝∠FCE＝45° 　　∵四邊形ABCD是正方形， 　　∴AD∥BE． 　　∴∠DAE＝∠BEA 　　∴∠NAE＝∠CEF 　　∴△ANE≌△ECF(ASA)　　(10分) 　　∴AE＝EF　　(11分)