Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 ，AC，BD相交于點(diǎn)O．
（1）求邊AB的長(zhǎng)；
（2）如圖2，將一個(gè)足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點(diǎn)G． ①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說(shuō)明理由；
②旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)E為邊BC的四等分點(diǎn)時(shí)（BE＞CE），求CG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴△AOB為直角三角形，且OA= AC=1，OB= BD= ．

在Rt△AOB中，由勾股定理得：

AB= = =2

（2）解：①△AEF是等邊三角形．理由如下：

∵由（1）知，菱形邊長(zhǎng)為2，AC=2，

∴△ABC與△ACD均為等邊三角形，

∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，

又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，

∴∠BAE=∠CAF．

在△ABE與△ACF中，

∵ ，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴AE=AF，

∴△AEF是等腰三角形，

又∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等邊三角形．

②BC=2，E為四等分點(diǎn)，且BE＞CE，

∴CE= ，BE= ．

由①知△ABE≌△ACF，

∴CF=BE= ．

∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形內(nèi)角和定理），

∠AEG=∠FCG=60°（等邊三角形內(nèi)角），

∠EGA=∠CGF（對(duì)頂角）

∴∠EAC=∠GFC．

在△CAE與△CFG中，

∵ ，

∴△CAE∽△CFG，

∴ ，即 ，

解得：CG=

【解析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，確定△AOB為直角三角形，然后利用勾股定理求出邊AB的長(zhǎng)度；（2）①本小問(wèn)為探究型問(wèn)題．要點(diǎn)是確定一對(duì)全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根據(jù)已知條件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等邊三角形；②本小問(wèn)為計(jì)算型問(wèn)題．要點(diǎn)是確定一對(duì)相似三角形△CAE∽△CFG，由對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系求出CG的長(zhǎng)度．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半．