Question

23、已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F在BD上，連接AF、EF．
（1）求證：AD=ED；
（2）如果AF∥CD，求證：四邊形ADEF是菱形．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)平行的性質(zhì)得到∠ADB=∠CDB，然后結(jié)合BC=CD利用ASA可證得△ABD≌△EBD，繼而可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠CDB，
又∵AB⊥AD，BE⊥CD，
∴∠BAD=∠BED=90°，
于是，在△ABD和△EBD中，
∵∠ADB=∠CDB，∠BAD=∠BED，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AD=ED．
（2）∵AF∥CD，∴∠AFD=∠EDF，
∴∠AFD=∠ADF，即得AF=AD，
又∵AD=ED，
∴AF=DE，于是，由AF∥DE，AF=DE得四邊形ADEF是平行四邊形，
又∵AD=ED，
∴四邊形ADEF是菱形．

點(diǎn)評：本題考查直角梯形的知識，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)平行和直角三角形的性質(zhì)找出圖中的相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解答此題．