Question

【題目】已知：如圖，在ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分線AE，DF分別與線段BC相交于點E，F，AE與DF相交于點G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，則DF的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用相似三角形的性質求出AG，EG，再利用勾股定理求出DG，FG即可解決問題．

解：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD＝10，

∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC．

∴∠BAE＝∠AEB，∠CDF＝∠DFC．

∵AB＝DC＝6，

∴BE＝AB＝6，FC＝CD＝6．

∴EC＝BC﹣BE＝4．

∴EF＝FC﹣EC＝2．

∵AD∥BC，

∴∠DAG＝∠FEG，∠ADG＝∠EFG．

∴△AGD∽△EGF，

∴，

∵AE＝4，

∴AG＝×4＝，EG＝，

在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，

∴∠BAD+∠ADC＝180°．

∵AE，DF分別是∠BAD，∠ADC的平分線，

∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．

∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．

∴∠AGD＝90°．

∴DG＝，FG＝，

∴DF＝DG+FG＝8，

故答案為8．