Question

【題目】在中，，分別是兩邊的中點(diǎn)，如果上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部或邊長(zhǎng)，則稱(chēng)為的中內(nèi)�。�例如下圖中是的一條中內(nèi)�。�

（1）如圖，在中，，，分別是，的中點(diǎn)．畫(huà)出的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧，并直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)；

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，，分別是，，的中點(diǎn)．

①若，直接寫(xiě)出的中內(nèi)弧所在圓的圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍；

②若在中存在一條中內(nèi)弧，使得所在圓的圓心在的內(nèi)部或邊長(zhǎng)，直接寫(xiě)出的取值范圍；

③若在中存在一條中內(nèi)弧，使得所在圓的圓心在的內(nèi)部或邊長(zhǎng)，則的最小值為__________．

Answer 1

【答案】（1）圖見(jiàn)解析，；（2）①或；②；③

【解析】

（1）先根據(jù)中內(nèi)弧的概念確認(rèn)最長(zhǎng)時(shí)圓的位置，再根據(jù)等腰直角三角形、勾股定理求解即可；

（2）①結(jié)合（1）中的結(jié)論確定中內(nèi)弧為最長(zhǎng)弧時(shí)的位置，從而得到臨界位置，再利用數(shù)形結(jié)合確定點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍即可；

②先分別求出點(diǎn)P在兩個(gè)臨界位置（即在x軸上和在BC上）時(shí)t的值，再根據(jù)中內(nèi)弧的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)即可得出t的取值范圍；

③先參照②的方法，求出t的取值范圍，再根據(jù)三角函數(shù)值求出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，從而可得出答案．

（1）由題意可知，的圓心在DE的垂直平分線上，即在BC的垂直平分線上，當(dāng)圓心為DE的中點(diǎn)時(shí)，與BC相切，此時(shí)是的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧

，分別是，的中點(diǎn)

所在圓的半徑為

則的長(zhǎng)為；

（2）①如圖，當(dāng)時(shí)，

則

由題意知，中內(nèi)弧所在圓的圓心在DF的垂直平分線PQ上，即在上

分以下兩種情況：

當(dāng)中內(nèi)弧在DF下方時(shí)

由（1）可知，當(dāng)P為DF中點(diǎn)時(shí)是一個(gè)臨界位置

此時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為

由中內(nèi)弧的定義可知，當(dāng)點(diǎn)P縱坐標(biāo)時(shí)，所有的都是中內(nèi)弧

當(dāng)中內(nèi)弧在DF上方時(shí)

圓P與BC相切是一個(gè)臨界位置，此時(shí)

由中位線定理得

是等腰直角三角形，

，即

由中內(nèi)弧的定義可知，當(dāng)點(diǎn)P縱坐標(biāo)時(shí)，所有的都是中內(nèi)弧

綜上，縱坐標(biāo)的取值范圍為或；

②，分別是，的中點(diǎn)

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AC上，且圓P與BC相切于點(diǎn)F時(shí)，則

過(guò)點(diǎn)F作

又

，即

解得或（舍去）

則當(dāng)時(shí)，中存在一條中內(nèi)弧，使得所在圓的圓心在的內(nèi)部或邊長(zhǎng)

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，圓P與AC相切于點(diǎn)N，則

，即

，即

解得

則當(dāng)時(shí)，中存在一條中內(nèi)弧，使得所在圓的圓心在的內(nèi)部或邊長(zhǎng)

綜上，所求的t的取值范圍為；

③，分別是，的中點(diǎn)

如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在AC上，且圓Q與BC相切于點(diǎn)G，連接DQ

設(shè)，則

，即

解得

在中，，即

將代入解得：（其中，負(fù)值不符題意，舍去）

則當(dāng)時(shí)，中存在一條中內(nèi)弧，使得所在圓的圓心在的內(nèi)部或邊長(zhǎng)

如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，圓Q與分別相切于點(diǎn)，連接

則四邊形ADQE是正方形，

由中位線定理得

，解得

則當(dāng)時(shí)，中存在一條中內(nèi)弧，使得所在圓的圓心在的內(nèi)部或邊長(zhǎng)

綜上，t的取值范圍為

要使的最小，則要取得最大值

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大

則當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為

因此，的最小值為．