Question

把正方形OFGE紙板按如圖①方式放置在正方形紙板ABCD上，頂點(diǎn)G在對(duì)角線AC，并把正方形OFGE繞頂點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為а．
（1）如圖②，當(dāng)а=90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段DE與BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（2）如圖③，當(dāng)0°＜а＜90°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)給出證明；若發(fā)生改變，請(qǐng)舉例說明；
（3）如圖④，將圖①、圖③中的兩個(gè)正方形都改為矩形，其他條件不變，設(shè)AB=kAD（k＞0），當(dāng)0°＜а＜90°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)給出證明；若發(fā)生改變，請(qǐng)寫出改變后的新結(jié)論，并給出證明．

Answer 1

解：（1）DE=BF，DE⊥BF；理由如下：
∵四邊形AFGE、四邊形ABCD都是正方形，
∴AE=AF，AD=AB，∠DAE=∠BAF=90°，
∴△AED≌△AFB，得DE=BF，∠DEA=∠AFB；
由于∠ABF、∠AFB互余，因此∠ABF、∠DEA互余，即∠DEA+∠ABF=90°，故DE⊥BF；
因此DE、BF的數(shù)量關(guān)系為相等，位置關(guān)系為垂直．

（2）不改變；
證明：如圖（3），連接DE，BF，BD；
同（1）可得：AE=AF，AD=AB，∠DAE=∠BAF（旋轉(zhuǎn)角），
∴△AED≌△AFB，得DE=BF，∠EDA=∠FBA；
由于∠EDA+∠ADB+∠DBF=∠ABF+∠ADB+∠DBF=90°，即∠EDB+∠DBF=90°，
故DE⊥BF，所以（1）的結(jié)論依然成立．


（3）BF=kDE，DE⊥BF；理由如下：
∵AB：AD=AF：AE=k，且∠DAE=∠BAF，
∴△ADE∽△ABF，且相似比為1：k，
故BF=kDE，∠EDA=∠FBA；
同（2）可證得DE⊥BF；
故BF、DE的數(shù)量關(guān)系為：BF=kDE，位置關(guān)系為：垂直．
分析：（1）此題可通過全等三角形來求解；首先證△AED≌△AFB，然后根據(jù)全等三角形得到的等角和等邊來進(jìn)行判斷．
（2）思路同（1），依然是根據(jù)△AED≌△AFB來得到所求的結(jié)論．
（3）此題要通過相似三角形來解，首先根據(jù)已知條件，易證得AE、AF與AD、AB對(duì)應(yīng)成比例，而∠DAE=∠FAB，即可證得△AED∽△AFB，由此得DE、BF的比例關(guān)系，在求它們的位置關(guān)系時(shí)，可參照（2）的解法．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)，還涉及到正方形、矩形的性質(zhì)，考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．