Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y= x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=﹣ 且經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求拋物線解析式．
（2）若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①y= 當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣4，

∴C（0，2），A（﹣4，0），

由拋物線的對(duì)稱性可知：點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=﹣ 對(duì)稱，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為1，0）．

②∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)A（﹣4，0），B（1，0），

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣1），

又∵拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，2），

∴2=﹣4a

∴a=

∴y= x2 x+2．

（2）

解：設(shè)P（m， m2 m+2）．

過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，

∴Q（m， m+2），

∴PQ= m2 m+2﹣（ m+2）

= m2﹣2m，

∵S△PAC= ×PQ×4，

=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，

∴當(dāng)m=﹣2時(shí)，△PAC的面積有最大值是4，

此時(shí)P（﹣2，3）．

（3）

解：方法一：

在Rt△AOC中，tan∠CAO= 在Rt△BOC中，tan∠BCO= ，

∴∠CAO=∠BCO，

∵∠BCO+∠OBC=90°，

∴∠CAO+∠OBC=90°，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC∽△ACO∽△CBO，

如下圖：

①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即M（0，2）時(shí)，△MAN∽△BAC；

②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，當(dāng)M（﹣3，2）時(shí)，△MAN∽△ABC；

③當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，設(shè)M（n， n2 n+2），則N（n，0）

∴MN= n2+ n﹣2，AN=n+4

當(dāng) 時(shí)，MN= AN，即 n2+ n﹣2= （n+4）

整理得：n2+2n﹣8=0

解得：n1=﹣4（舍），n2=2

∴M（2，﹣3）；

當(dāng) 時(shí)，MN=2AN，即 n2+ n﹣2=2（n+4），

整理得：n2﹣n﹣20=0

解得：n1=﹣4（舍），n2=5，

∴M（5，﹣18）．

綜上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

方法二：

∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），

∴KAC×KBC=﹣1，

∴AC⊥BC，MN⊥x軸，

若以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，

則 ， ，

設(shè)M（2t，﹣2t2﹣3t+2），

∴N（2t，0），

①|(zhì) |= ，

∴| |= ，

∴2t1=0，2t2=2，

②| |= ，

∴| |=2，∴2t1=5，2t2=﹣3，

綜上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

【解析】（1）①先求的直線y= x+2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用拋物線的對(duì)稱性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；②設(shè)拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x﹣1），然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得a的值；（2）設(shè)點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)為m，分別求得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)，從而可得到線段PQ= m2﹣2m，然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC= ×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時(shí)m的值，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下幾種情況分類討論即可：①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即M（0，2）時(shí)，△MAN∽△BAC；②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，當(dāng)M（﹣3，2）時(shí)，△MAN∽△ABC； ④當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，解題時(shí)，需要注意相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小)，還要掌握二次函數(shù)的最值(如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．