Question

17．【背景知識】數軸上A點、B點表示的數為a、b，則A、B兩點之間的距離AB=|a-b|；線段AB的中點M表示的數為$\frac{a+b}{2}$．
【問題情境】已知數軸上有A、B兩點，分別表示的數為-40和20，點A以每秒3個單位的速度沿數軸向右勻速運動，點B以每秒2個單位向左勻速運動．設運動時間為t秒（t＞0）．
（1）運動開始前，A、B兩點的距離為60；線段AB的中點M所表示的數為-10．
（2）它們按上述方式運動，A、B兩點經過多少秒會相遇，相遇點所表示的數是什么？
（3）當t為多少時，線段AB的中點M表示的數為-5？并直接寫出在這一運動過程中點M的運動方向和運動速度．

Answer 1

分析 （1）根據A、B兩點之間的距離AB=|a-b|，線段AB的中點M表示的數為$\frac{a+b}{2}$代入可得；
（2）根據相遇后，A、B兩點所表示的數相同，列方程可求解，再代回可知相遇點表示的數；
（3）根據線段AB的中點表示的數為-5列出方程，解得，將中點M的兩個時刻所表示的數比較可知運動方向和速度．

解答 解：（1）根據題意可知，運動開始前，A、B兩點的距離AB=|-40-20|=60；
線段AB的中點M所表示的數為：$\frac{-40+20}{2}=-10$；
（2）設它們按上述方式運動，A、B兩點經過x秒會相遇，則
點A運動x秒后所在位置的點表示的數為-40+3x；點B運動x秒后所在位置的點表示的數為20-2x；
根據題意，得：-40+3x=20-2x
解得 x=12，
∴它們按上述方式運動，A、B兩點經過12秒會相遇，
相遇點所表示的數是：-40+3x=-40+3×12=-4；
答：A、B兩點經過12秒會相遇，相遇點所表示的數是-4．
（3）根據題意，得：$\frac{（-40+3t）+（20-2t）}{2}=-5$，
解得 t=10，
∵t=0時，中點M表示的數為-10；t=10時，中點M表示的數為-5；
∴中點M的運動方向向右，運動速度為$\frac{-5-（-10）}{10-0}=\frac{1}{2}$．
答：經過10秒，線段AB的中點M表示的數是-5．M點的運動方向向右，運動速度為每秒$\frac{1}{2}$個單位長度．
故答案為：（1）60，-10．

點評 本題考查了一元一次方程的應用，關鍵是掌握點的移動與點所表示的數之間的關系，找出合適的等量關系列出方程，再求解．