Question

【題目】如圖1是實(shí)驗(yàn)室中的一種擺動(dòng)裝置，BC在地面上，支架ABC是底邊為BC的等腰直角三角形，擺動(dòng)臂AD可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，擺動(dòng)臂DM可繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，AD＝30，DM＝10．

（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，

①當(dāng)A，D，M三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求AM的長(zhǎng)．

②當(dāng)A，D，M三點(diǎn)為同一直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)，求AM的長(zhǎng)．

（2）若擺動(dòng)臂AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D的位置由△ABC外的點(diǎn)D1轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點(diǎn)D2處，連結(jié)D1D2，如圖2，此時(shí)∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①20；②20或10；（2）30

【解析】

（1）①根據(jù)D在AM上還是AM的延長(zhǎng)線上分兩種情況求解即可.

②由圖可知∠MAD不能為直角，當(dāng)∠AMD或∠ADM=90為直角時(shí)，分別應(yīng)用勾股定理解答即可.

（2）連接CD，先用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性質(zhì)證明BD2= CD1即可.

（1）①AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20．

②顯然∠MAD不能為直角．

當(dāng)∠AMD為直角時(shí)，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800，

∴AM＝20或（﹣20舍棄）．

當(dāng)∠ADM＝90°時(shí)，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000，

∴AM＝10或（﹣10舍棄）．

綜上所述，滿足條件的AM的值為20或10．

（2）如圖2中，連接CD．

由題意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，

∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30，

∵∠AD2C＝135°，

∴∠CD2D1＝90°，

∴CD1＝＝30，

∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，

∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，

∴∠BAD2＝∠CAD1，

∵AB＝AC，AD2＝AD1，

∴△BAD2≌△CAD1（SAS），

∴BD2＝CD1＝30．