Question

【題目】如圖,矩形ABCD中，AD>AB，連接AC，將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段AE，平移線段AE得到線段DF(點(diǎn)A與點(diǎn)D對應(yīng)，點(diǎn)E與點(diǎn)F對應(yīng))，連接BF，分別交直線AD，AC于點(diǎn)G，M，連接EF．

(1) 依題意補(bǔ)全圖形；

(2) 求證：EG⊥AD；

(3) 連接EC，交BF于點(diǎn)N，若AB=2，BC=4，設(shè)MB=a，NF=b，試比較與之間的大小關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）<，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題目要求作出圖形即可；

（2）連EF，EG，延長AB交EF于點(diǎn)H，先依據(jù)矩形與平行線的性質(zhì)，等角的余角相等，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到≌(AAS),依據(jù)全等的性質(zhì)及等量代換可得，結(jié)合依據(jù)相似的判定與性質(zhì)，得到，再依據(jù)SAS可證明≌，依據(jù)全等的性質(zhì)得到，即EG⊥AD；

（3）依據(jù)勾股定理求出，依據(jù)平行線分線段成比例可分別證∽，∽，∽，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到、、、，即可求出==9+5<.

解：（1）補(bǔ)全圖形如下：

（2）連EF，EG，延長AB交EF于點(diǎn)H，設(shè)，，

∵,,

∴四邊形是平行四邊形，

∴，，

∴∽,

∴，

∵矩形ABCD，

∴，，

∴,

∴,

∴，

∴,

∵,

∴，即,

又∵，

∴≌(AAS),

∴,，

∴,

又∵，

∴，

又∵，，

∴≌（SAS），

∴，

∴EG⊥AD；

(3) 當(dāng)AB=2，BC=4，MB=a，NF=b時(shí)，<，理由如下：

,,,,,

∵，

∴∽，

∴=,

∴,,

∵，

∴∽，

∴=,

∴,

∵

∽，

∴,

∴,

==9+5<.