Question

已知拋物線y₁=x²+2ax+b經(jīng)過點(diǎn)A（2，4），頂點(diǎn)D在直線y₂=2x+1上．
（1）求a、b的值．
（2）求證：不論x取何值，函數(shù)的值y₁均不小于3．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）先把A點(diǎn)坐標(biāo)）代入y₁=x²+2ax+b得b=-4a，則把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式得到D坐標(biāo)為（-a，-a²-4a），然后把D（-a，-a²-4a）代入y₂=2x+1可計(jì)算出a的值，從而可得到b的值；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)可得到y(tǒng)₁=（x-1）²+3，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可證明不論x取何值，函數(shù)的值y₁均不小于3．

解答：（1）解：把點(diǎn)A（2，4）代入y₁=x²+2ax+b得4+4a+b=4，解得b=-4a，
所以y₁=x²+2ax+b=x²+2ax-4a=（x+a）²-a²-4a，
則拋物線頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（-a，-a²-4a），
把D（-a，-a²-4a）代入y₂=2x+1得-2a+1=-a²-4a，
整理得a²+2a+1=0，解得a=-1，
所以b=-4×（-1）=4，
即a，b的值分別為-1，4；
（2）證明：∵y₁=（x+a）²-a²-4a=（x-1）²+3，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
∴函數(shù)有最小值3，即不論x取何值，函數(shù)的值y₁均不小于3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．