如圖,等腰三角形ABC中,AC=BC=10,AB=12,以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)G,DF⊥AC,垂足為F,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證:直線EF是⊙O的切線;

(2)求cos∠E的值.


【考點(diǎn)】切線的判定;勾股定理.

【專題】證明題.

【分析】(1)求證直線EF是⊙O的切線,只要連接OD證明OD⊥EF即可;

(2)根據(jù)∠E=∠CBG,可以把求cos∠E的值得問題轉(zhuǎn)化為求cos∠CBG,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求Rt△BCG中,兩邊的比的問題.

【解答】(1)證明:如圖,

方法1:連接OD、CD.

∵BC是直徑,

∴CD⊥AB.

∵AC=BC.

∴D是AB的中點(diǎn).

∵O為CB的中點(diǎn),

∴OD∥AC.

∵DF⊥AC,

∴OD⊥EF.

∴EF是O的切線.

方法2:∵AC=BC,

∴∠A=∠ABC,

∵OB=OD,

∴∠DBO=∠BDO,

∵∠A+∠ADF=90°

∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°.

即∠EDO=90°,

∴OD⊥ED

∴EF是O的切線.

(2)解:連BG.

∵BC是直徑,

∴∠BDC=90°.

∴CD==8.

∵AB•CD=2SABC=AC•BG,

∴BG==

∴CG==

∵BG⊥AC,DF⊥AC,

∴BG∥EF.

∴∠E=∠CBG,

∴cos∠E=cos∠CBG==

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定,要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點(diǎn),連接圓心和這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.


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