Question

（2012•濟(jì)南）如圖，已知雙曲線y=

k

x

經(jīng)過點(diǎn)D（6，1），點(diǎn)C是雙曲線第三象限上的動(dòng)點(diǎn)，過C作CA⊥x軸，過D作DB⊥y軸，垂足分別為A，B，連接AB，BC
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面積為12，求直線CD的解析式；
（3）判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入雙曲線解析式，進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）先根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出BD的長度，再根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)C到BD的距離，然后求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（3）根據(jù)題意求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，可知與直線CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

k

x

經(jīng)過點(diǎn)D（6，1），
∴

k

6

=1，
解得k=6；

（2）設(shè)點(diǎn)C到BD的距離為h，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，1），DB⊥y軸，
∴BD=6，
∴S_△BCD=

1

2

×6•h=12，
解得h=4，
∵點(diǎn)C是雙曲線第三象限上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1-4=-3，
∴

6

x

=-3，
解得x=-2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-3），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
則

-2k+b=-3 6k+b=1

，
解得

k= 1 2 b=-2

，
所以，直線CD的解析式為y=

1

2

x-2；

（3）AB∥CD．
理由如下：∵CA⊥x軸，DB⊥y軸，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，

6

c

），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，1），
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（c，0），B（0，1），
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
則

mc+n=0 n=1

，
解得

m=- 1 c n=1

，
所以，直線AB的解析式為y=-

1

c

x+1，
設(shè)直線CD的解析式為y=ex+f，
則

ec+f= 6 c 6e+f=1

，
解得

e=- 1 c f= c+6 c

，
∴直線CD的解析式為y=-

1

c

x+

c+6

c

，
∵AB、CD的解析式k都等于-

1

c

，
∴AB與CD的位置關(guān)系是AB∥CD．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)反比例函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積的求解，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的方法，一定要熟練掌握并靈活運(yùn)用．