Question

如圖1，在Rt△A′OB′中，∠B′A′0=90°，A′，B′兩點的坐標分別為（2，-1）和（0，-5），將A′0B′繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使OB’落在x軸正半軸上，得△AOB，點A′的對應(yīng)點是A，點B’的對應(yīng)點是B．
（1）寫出A，B兩點的坐標，并求直線AB的解析式；
（2）如圖2，將△A0B沿垂直于x軸的線段CD折疊，（點C在x軸上，且不與點B重合，點D在線段AB上），使點B落在x軸上，對應(yīng)點為點E，設(shè)點C的坐標為（x，0）．
①當x為何值時，線段DE平分△AOB的面積；
②是否存在這樣的點使得△AED為直角三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．
③設(shè)△CDE與△AOB重疊部分的面積為S，直接寫出S與點C的橫坐標x之間的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量x的取值范圍）．

Answer 1

解：（1）A（1，2），B（5，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有：
，
解得：，
∴直線AB的解析式為y=-x+．

（2）①當x=時，CD=y==，S_△DEB=×5×=＞3，
∴點E在O的右邊．
由題意，得：S_△DEB=×2（5-x）×=，x=5+（舍去），
∴x=5-．
②當∠ADE=90°時，得∠DBE=∠DEB=45°，舍去，
當∠EAD=90°時，點E與點O重合，得x=．
當∠AED=90°時，作AH⊥OB于H，證明△AHE∽△DCE，可得HE=1．
∴OE=2．
∴2+2（5-x）=5，x=．

③當≤x＜5時，S=×（5-x）×=（x-5）²；
當2≤x＜時，設(shè)DE、OA交于P，作PM⊥OB與M，設(shè)PM=h，則OM=，EM=2h，OE=5-2x．
∴5-2x+=2h，h=（5-2x），
∴S=×（5-x）×-×（5-2x）×（5-2x）=-x²+x-．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：A′的橫坐標實際是A點的縱坐標，A′的縱坐標的絕對值實際是A點橫坐標，由此可得出A點的坐標，同理可求出B點的坐標．已知了A、B的坐標，可用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．
（2）①當E點與O重合時，不難得出△EDB的面積＞△AOB的面積，因此當線段DE平分△AOB的面積時，E在O點右側(cè)．可用x表示出BC，CD的值，進而可得求出△BDE的面積，然后根據(jù)其面積為△AOB面積的一半可得出一個關(guān)于x的方程，據(jù)此可求出x的值．
②本題要分情況進行討論：
一：當∠ADE=90°時，∠EDB=90°，顯然不成立；
二：當∠EAD=90°時，E，O重合，那么BE=BO，據(jù)此可求出x的值；
三：當∠AED=90°時，可過A作x軸的垂線，通過構(gòu)建相似三角形來求出x的值．
③本題要分情況進行討論：
一：當≤x＜5時，E在△AOB內(nèi)，重合部分的面積就是△CDE的面積；
二：2≤x＜時，E在△AOB外部，重合部分是個不規(guī)則的四邊形，設(shè)DE與OA交于P，那么重合部分的面積可用△CDE的面積減去△EOP的面積來求得．
綜上所述，即可求出不同x的取值范圍內(nèi)S，x的函數(shù)關(guān)系式．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形的翻折變換、圖形的面積求法等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．