Question

如圖，已知：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，求證：AD+DE=BE．

Answer 1

分析：由角平分線的定義、垂直的定義證明△DEB≌△DCB，再根據全等三角形的對應邊相等得出結論．

解答：證明：∵BD平分∠CBA（已知），
∴∠EBD=∠CBD（角平分線的定義）．
∵DE⊥AB（已知），
∴∠DEB=90°（垂直的定義）．
∵∠C=90°（已知），
∴∠DEB=∠C（等量代換）．
在△DEB和△DCB中

∠DEB=∠C(已證) ∠EBD=∠CBD(已證) DB=DB(公共邊)

，
∴△DEB≌△DCB（AAS）．
∴DE=DC，BE=BC（全等三角形的對應邊相等）．
∵AD+DC=AC=BC（已知），
∴AD+DE=BE（等量代換）．

點評：本題考查了角平分線的定義、垂直的定義、全等三角形的判定及其性質等知識．利用相等的線段進行等效轉是解答本題的關鍵．