Question

【題目】教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁(yè)的部分內(nèi)容.2．線段垂直平分線.我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱軸，如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB，將線段AB沿直線MN對(duì)稱，我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合，由此即有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的距離相等．已知：如圖，MN⊥AB，垂足為點(diǎn)C，AC＝BC，點(diǎn)P是直線MN上的任意一點(diǎn)．求證：PA＝PB．圖中有兩個(gè)直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證明PA＝PB．

定理證明：請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫(xiě)出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過(guò)程．

定理應(yīng)用：

（1）如圖②，在△ABC中，直線m、n分別是邊BC、AC的垂直平分線，直線m、n的交點(diǎn)為O．過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H．求證：AH＝BH．

（2）如圖③，在△ABC中，AB＝BC，邊AB的垂直平分線l交AC于點(diǎn)D，邊BC的垂直平分線k交AC于點(diǎn)E．若∠ABC＝120°，AC＝15，則DE的長(zhǎng)為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）5

【解析】

定理證明：先證明△PAC≌△PBC，然后再運(yùn)用三角形全等的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；

（1）連結(jié)AO、BO、CO利用線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)即可解答；

（2）連接BD，BE，證明△BDE是等邊三角形即可解答.

解：定理證明：

∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

又∵AC＝BC，PC＝PC，

∴△PAC≌△PBC（SAS），

∴PA＝PB．

定理應(yīng)用：（1）如圖2，連結(jié)OA、OB、OC．

∵直線m是邊BC的垂直平分線，

∴OB＝OC，

∵直線n是邊AC的垂直平分線，

∴OA＝OC，

∴OA＝OB

∵OH⊥AB，

∴AH＝BH；

（2）如圖③中，連接BD，BE．

∵BA＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠A＝∠C＝30°，

∵邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，

∴DA＝DB，EB＝EC，

∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，

∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，

∴△BDE是等邊三角形，

∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，

∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，

∴DE＝5，

故答案為：5．