Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2﹣ x+2（a≠0）的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A（﹣4，0）．
（1）求拋物線與直線AC的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)，四邊形OCDA的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系；
（3）若點(diǎn)E為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F為x軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣4，0）在二次函數(shù)y=ax2﹣ x+2（a≠0）的圖像上，

∴0=16a+6+2，

解得a=﹣ ，

∴拋物線的函數(shù)解析式為y=﹣ x2﹣ x+2；

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則

，

解得 ，

∴直線AC的函數(shù)解析式為：

（2）解：∵點(diǎn)D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)，

∴D（m，﹣ m2﹣ m+2），

過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，

則DH=﹣ m2﹣ m+2，AH=m+4，HO=﹣m，

∵四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，

∴S= （m+4）×（﹣ m2﹣ m+2）+ （﹣ m2﹣ m+2+2）×（﹣m），

化簡，得S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）

（3）解：①若AC為平行四邊形的一邊，則C、E到AF的距離相等，

∴|yE|=|yC|=2，

∴yE=±2．

當(dāng)yE=2時(shí)，解方程﹣ x2﹣ x+2=2得，

x1=0，x2=﹣3，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣3，2）；

當(dāng)yE=﹣2時(shí)，解方程﹣ x2﹣ x+2=﹣2得，

x1= ，x2= ，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ，﹣2）或（ ，﹣2）；

②若AC為平行四邊形的一條對(duì)角線，則CE∥AF，

∴yE=yC=2，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣3，2）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣3，2）、（ ，﹣2）、（ ，﹣2）．

【解析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可求得拋物線的解析式，根據(jù)A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得直線AC的函數(shù)解析式；（2）先過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，運(yùn)用割補(bǔ)法即可得到：四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，據(jù)此列式計(jì)算化簡就可求得S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系；（3）由于AC確定，可分AC是平行四邊形的邊和對(duì)角線兩種情況討論，得到點(diǎn)E與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入拋物線的解析式，就可得到滿足條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了公式法和平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握要用公式解方程，首先化成一般式．調(diào)整系數(shù)隨其后，使其成為最簡比．確定參數(shù)abc，計(jì)算方程判別式．判別式值與零比，有無實(shí)根便得知．有實(shí)根可套公式，沒有實(shí)根要告之；平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分才能正確解答此題．