Question

【題目】兩張寬度均為4的矩形紙片按如圖所示方式放置：

（1）如圖1，求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）如圖2，點P在BC上，PFAD于點F，若=16, PC=1.

①求∠BAD的度數(shù)；②求DF的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）45°；DF=3.

【解析】

（1）過點D作DE⊥AB于E，作DQ⊥BC于Q，構(gòu)造全等三角形，得出AD=CD，再根據(jù)AB∥CD，AD∥BC，得到四邊形ABCD是平行四邊形，進而得出四邊形ABCD是菱形；

（2）①先根據(jù)菱形的面積求得菱形的邊長，再根據(jù)sin∠DAE的值，求得∠BAD的度數(shù)；②根據(jù)CP=1，以及∠PCG=∠BAD=45°，求得PG=1，再根據(jù)∠CDF=45°=∠DGF，即可得到DF=FG=1．

（1）如圖1，過點D作DE⊥AB于E，作DQ⊥BC于Q，則∠AED=∠CQD=90°，

∵矩形紙片寬度均為4，

∴DE=DQ，

又∵∠CDE=∠ADQ=90°，

∴∠ADE=∠CDQ，

在△ADE和△CDQ中，

，

∴△ADE≌△CDQ（ASA），

∴AD=CD，

又∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）①如圖1，∵S四邊形ABCD=16，

∴AB×DE=16，即AB×4=16，

∴AB=4=AD，

∴sin∠DAE=，

∴∠BAD=45°；

②如圖2，

∵PF⊥AD，AD∥BC，

∴PF⊥BC，

又∵∠PCG=∠BAD=45°，

∵PC=1

∴PG=1，

∵PF=4

∴FG=PF-PG=4-1=3，

又∵∠CDF=45°=∠DGF，

∴DF=FG=3．