Question

【題目】如圖，等腰三角形△ABC的腰長(zhǎng)AB=AC=25，BC=40，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)沿BC向C運(yùn)動(dòng)，速度為10單位/秒．動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CA向A運(yùn)動(dòng)，速度為5單位/秒，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)候兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接P′P和P′Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）若當(dāng)t的值為m時(shí)，PP′恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求m的值．
（2）設(shè)△P′PQ的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（m＜t≤4）
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使PQ平分角∠P′PC？存在，求相應(yīng)的t值，不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，作AM⊥BC于M．

∵AB=AC=25，AM⊥BC，

∴BM=MC=20，

在Rt△ABM中，AM= = =15，

當(dāng)PP′恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∵cos∠C= = ，

∴ = ，

∴t= ．

∴m= s

（2）解：如圖2中，設(shè)PP′交AC于N．

當(dāng) ＜t≤4時(shí)，由△PCN∽△ACM，可得PC=40﹣10t，PN=P′N(xiāo)=24﹣6t，CN=32﹣8t，

∵CQ=5t，

∴NQ=CN﹣CQ=32﹣13t，

∴y= PP′N(xiāo)Q= （48﹣12t）（32﹣13t）=78t2﹣504t+768（ ＜t≤4）

（3）解：存在．理由如下：

如圖3中，作QE⊥BC于E．

∵PQ平分∠CPP′，QE⊥PC，QN⊥PP′，

∴QN=QE，

∵sin∠C= = ，

∴t=2，

∴t=2時(shí)，PQ平分角∠P′PC

【解析】（1）由∠C的余弦定義既在Rt△APC，又可在Rt△ACM中列出比例式，二者相等，構(gòu)建方程，求出m;（2）由△PCN∽△ACM,可表示出PC=40﹣10t，PN=P′N(xiāo)=24﹣6t,CN=32﹣8t，代入面積公式，即可得y= PP′N(xiāo)Q=78t2﹣504t+768;（3）利用∠C的正弦有兩種表示的比例式，二者相等，可列出方程,求出t.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)才能正確解答此題．