Question

11．如圖，一次函數(shù)y₁=k₁x+b的圖象與反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使得△PAB的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)作出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′得到點(diǎn)P，利用待定系數(shù)法求解即可．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)（2，1），
∴k₂=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y₂=$\frac{2}{x}$，
∵一次函數(shù)y₁=k₁x+b的圖象經(jīng)過(guò)（2，1）和（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{1}+b=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為：y₁=-x+3；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交x軸于P，則點(diǎn)P即為所求，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），
則點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，-2），
設(shè)直線AB′的解析式為y=ax+c，
$\left\{\begin{array}{l}{a+c=-2}\\{2a+c=1}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
則直線AB′的解析式為y=3x-5，
3x-5=0，
解得，x=$\frac{5}{3}$，
∴點(diǎn)p的坐標(biāo)為（$\frac{5}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式、正確作出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′是解題的關(guān)鍵．