Question

【題目】如果一個(gè)自然數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的立方差，那么我們就稱這個(gè)自然數(shù)為“麻辣數(shù)”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均為“麻辣數(shù)”．

【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】

（1）請判斷98和169是否為“麻辣數(shù)”，并說明理由；

（2）在小組合作學(xué)習(xí)中，小明提出新問題：“求出在不超過2016的自然數(shù)中，所有的‘麻辣數(shù)’之和為多少？”小組的成員胡圖圖略加思索后說：“這個(gè)難不倒圖圖，我們知道奇數(shù)可以用2k+1表示…，再結(jié)合立方差公式…”，請你順著胡圖圖的思路，寫出完整的求解過程．

Answer 1

【答案】（1）不是（2）6860

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)相鄰兩個(gè)奇數(shù)的立方差，可得答案；

（2）根據(jù)相鄰兩個(gè)奇數(shù)的立方差，麻辣數(shù)的定義，可得答案．

試題解析：設(shè)k為整數(shù)，則2k+1、2k﹣1為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，

設(shè)M為“麻辣數(shù)”，

則M=（2k+1）3﹣（2k﹣1）3=24k2+2；

（1）98=53﹣33，故98是麻辣數(shù)；M=24k2+2是偶數(shù)，故169不是麻辣數(shù)；

（2）令M≤2016，則24k2+2≤2016，

解得k2≤＜84，

故k2=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，

故M的和為24×（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+2×10=6860．