Question

【題目】如圖1，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一個動點，連接OP，CP．

（1）求△OPC的最大面積；

（2）求∠OCP的最大度數(shù)；

（3）如圖2，延長PO交⊙O于點D，連接DB，當CP=DB時，求證：CP是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題（1）在△OPC中，底邊OC長度固定，因此要想△OPC的面積最大，則要OC邊上的高最大；由圖形可知，當OP⊥OC時高最大；

（2）要想∠OCP的度數(shù)最大，由圖形可知當PC與⊙O相切才能滿足，根據切線的性質即可求得；

（3）連接AP，BP通過△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC，從而求得PC是⊙O的切線

試題解析：（1）∵AB=4，

∴OB=2，OC=OB+BC=4．

在△OPC中，設OC邊上的高為h，

∵S△OPC=OCh=2h，

∴當h最大時，S△OPC取得最大值．

觀察圖形，當OP⊥OC時，h最大，如答圖1所示：

此時h=半徑=2，S△OPC=2×2=4．

∴△OPC的最大面積為4．

（2）當PC與⊙O相切時，∠OCP最大．如答圖2所示：

∵tan∠OCP=，

∴∠OCP=30°

∴∠OCP的最大度數(shù)為30°．

（3）證明：如答圖3，連接AP，BP．

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD，

∵∠AOP=∠DOB

∴AP=BD，

∵CP=DB，

∴AP=CP，

∴∠A=∠C

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD∠C，

在△ODB與△BPC中

，

∴△ODB≌△BPC（SAS），

∴∠D=∠BPC，

∵PD是直徑，

∴∠DBP=90°，

∴∠D+∠BPD=90°，

∴∠BPC+∠BPD=90°，

∴DP⊥PC，

∵DP經過圓心，

∴PC是⊙O的切線．