Question

【題目】問題背景
在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師要求同學(xué)們拿兩張大小不同的矩形紙片進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換探究活動(dòng)．如圖1，在矩形紙片ABCD和矩形紙片EFGH中，AB=1，AD=2，且EF＞AD，F(xiàn)G＞AB，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，矩形紙片EFGH以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中會(huì)產(chǎn)生怎樣的數(shù)量關(guān)系，提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題并加以解決．
解決問題
下面是三個(gè)學(xué)習(xí)小組提出的數(shù)學(xué)問題，請(qǐng)你解決這些問題．

（1）“奮進(jìn)”小組提出的問題是：如圖1，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，EH與BC相交于點(diǎn)N時(shí)，求證：EM=EN．
（2）“雄鷹”小組提出的問題是：在（1）的條件下，當(dāng)AM=CN時(shí)，AM與BM有怎樣的數(shù)量關(guān)系，說明理由．
（3）“創(chuàng)新”小組提出的問題是；若矩形EFGH繼續(xù)以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠AEF=60°時(shí)，請(qǐng)你在圖2中畫出旋轉(zhuǎn)后的示意圖，并求出此時(shí)EF將邊BC分成的兩條線段的長度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過點(diǎn)E作EP⊥BC，垂足為點(diǎn)P，

則四邊形ABPE是矩形，

∴PE=AB=1，∠AEP=90°，

∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE= AD=1，

∴PE=AE，

∵∠MEN=∠AEP=90°，

∴∠MEN﹣∠MEP=∠AEP﹣∠MEP，

∴∠PEN=∠AEM，

∵PE=AE，∠EPN=∠EAM=90°，

∴△PEN≌△AEM，

∴EM=EN

（2）

解：由（1）知，△PEN≌△AEM，

∴AM=PN，

∵AM=CN，

∴PN=CN= PC，

∵四邊形EPCD是矩形，

∴PC=DE=1，PN=CN= ，

∴AM=PN= ，BM=AB﹣AM= ，

∴AM=BM

（3）

解：如圖2，

當(dāng)∠AEF=60°時(shí)，

設(shè)EF與BC交于M，EH與CD交于N，過點(diǎn)E作EP⊥BC于P，連接EC，

由（1）知，CP=EP=1，AD∥BC，

∴∠EMP=∠AEF=60°，

在Rt△PEM中，PM= = ，

∴BM=BP﹣PM=1﹣ ，CM=PC+PM=1+ ，

∴EF將邊BC分成的兩條線段的長度為1﹣ ，1+ ．

【解析】（1）先判斷出PE=AE，再判斷出∠PEN=∠AEM，進(jìn)而得到△PEN≌△AEM，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出PN=CN= PC，進(jìn)而求出PN=CN= ，再判斷出AM=PN，即可得出BM= ，結(jié)論得證；（3）在直角三角形PEM中，求出PM，再用線段的和差即可得出結(jié)論．