Question

【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線(xiàn),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F.則下列結(jié)論:①AD上任意一點(diǎn)到點(diǎn)C,B的距離相等;②AD上任意一點(diǎn)到邊AB,AC的距離相等;③BD=CD,AD⊥BC;④∠BDE=∠CDF.其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得AD垂直平分BC，再根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得AD上任意一點(diǎn)到點(diǎn)C和點(diǎn)B的距離相等，從而判斷出①正確；根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得AD上任意一點(diǎn)到AB，AC的距離相等，從而判斷出②正確；根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得③④正確．

∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，

∴AD垂直平分BC，

∴AD上任意一點(diǎn)到點(diǎn)C和點(diǎn)B的距離相等，故①正確；

∵AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，

∴AD上任意一點(diǎn)到AB，AC的距離相等，故②正確；

∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，

∴BD=CD=BC，AD⊥BC，故③正確；

∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴∠BDE=∠CDF，故④正確；

綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④共4個(gè)

故選A