Question

如圖1所示，矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D與原點(diǎn)重合，對(duì)角線BD所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=

3

4

x，AD=8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)做勻速運(yùn)動(dòng)，沿矩形ABCD的邊經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C，用了14秒．

（1）求矩形ABCD的周長(zhǎng)．
（2）如圖2所示，圖形運(yùn)動(dòng)到第5秒時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）設(shè)矩形運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)0≤t≤6時(shí)，點(diǎn)P所經(jīng)過的路線是一條線段，請(qǐng)求出線段所在直線的函數(shù)關(guān)系式．
（4）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB或BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，則矩形PEOF是否能與矩形ABCD相似（或位似）？若能，求出t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，AD=8，B點(diǎn)在y=

3

4

x上，則y=6，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，6），AB=6，可求得矩形的周長(zhǎng)為28．
（2）由（1）可知AB+BC=14，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位．可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)P坐標(biāo)為（12，8）；
（3）設(shè)線段所在直線為y=kx+b，把點(diǎn)（8，0），（12，8），代入解析式利用待定系數(shù)法求解得：函數(shù)關(guān)系式為y=2x-16；
（4）①當(dāng)點(diǎn)P在AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤6，點(diǎn)D的坐標(biāo)表示為(

4

5

t，

3

5

t)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8+

4

5

t，

8

5

t），根據(jù)相似三角形的相似比，解得t=6；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，此時(shí)矩形PEOF與矩形BADC是位似形．則根據(jù)相似三角形的相似比可解得t=20，因?yàn)?0＞6，所以此時(shí)點(diǎn)P不在AB邊上，舍去．②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，即6≤t≤14，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

4

5

t，

3

5

t)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（14-

1

5

t，

3

5

t+6）
同樣利用三角形的相似比可求得t=

190

13

，因?yàn)?span id="th6e9pc" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

190

13

＞14，此時(shí)點(diǎn)P不在BC邊上，舍去．
綜合可知，當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B，矩形PEOF與矩形BADC是位似形．

解答：解：（1）AD=8，B點(diǎn)在y=

3

4

x上，則y=6，B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，6），AB=6，矩形的周長(zhǎng)為28．

（2）由（1）可知AB+BC=14，P點(diǎn)走過AB、BC的時(shí)間為14秒，因此點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位．
∵矩形沿DB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)，出發(fā)5秒后，OD=5，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），
同時(shí)點(diǎn)P沿AB方向運(yùn)動(dòng)了5個(gè)單位，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（12，8）．

（3）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)前的位置為（8，0），5秒后運(yùn)動(dòng)到（12，8），
已知它運(yùn)動(dòng)路線是一條線段，設(shè)線段所在直線為y=kx+b
∴

8k+b=0 12k+b=8

，
解得：

k=2 b=-16

函數(shù)關(guān)系式為y=2x-16．

（4）方法一：①當(dāng)點(diǎn)P在AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤6，
點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

4

5

t，

3

5

t)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8+

4

5

t，

8

5

t）．
若

PE

OE

=

BA

DA

，則

8 5 t

8+ 4 5 t

=

6

8

，解得t=6．
當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，此時(shí)矩形PEOF與矩形BADC是位似形．
若

PE

OE

=

DA

BA

，則

8 5 t

8+ 4 5 t

=

8

6

，
解得t=20．
因?yàn)?0＞6，所以此時(shí)點(diǎn)P不在AB邊上，舍去．
②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，即6≤t≤14，
點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

4

5

t，

3

5

t)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（14-

1

5

t，

3

5

t+6）．
若

PE

OE

=

BA

DA

，則

3 5 t+6

14- 1 5 t

=

6

8

，
解得t=6．
因?yàn)?span id="b6iggrp" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

8

5

＜14，此時(shí)點(diǎn)P不在BC邊上，舍去．
綜上，當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B，矩形PEOF與矩形BADC是位似形．

方法二：當(dāng)點(diǎn)P在AB上沒有到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，

PE

OE

＜

BE

OE

=

3

4

，

PE

OE

更不能等于

4

3

．
則點(diǎn)P在AB上沒到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩個(gè)矩形不能構(gòu)成相似形
當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，矩形PEOF與矩形BADC是位似形，此時(shí)t=6．
當(dāng)點(diǎn)P越過點(diǎn)B在BC上時(shí)，

PE

OE

＞

3

4

若

PE

OE

=

3

4

時(shí)，由點(diǎn)P在BC上時(shí)，坐標(biāo)為：
（14-

1

5

t，

3

5

t+6），（6≤t≤14），

3 5 t+6

14- 1 5 t

=

3

4

，
解得t=

8

5

，但

8

5

＜14．
因此當(dāng)P在BC上（不包括B點(diǎn)）時(shí)，矩形PEOF與矩形BCDA不相似．
綜上，當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B，矩形PEOF與矩形BADC是位似形．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．