Question

矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′落在線段BC上，再打開得到折痕EF．

（1）當(dāng)A′與B重合時(shí)（如圖1），EF=       ；當(dāng)折痕EF過點(diǎn)D時(shí)（如圖2），求線段EF的長；
（2）①觀察圖3和圖4，設(shè)BA′=x，①當(dāng)x的取值范圍是       時(shí)，四邊形AEA′F是菱形；②在①的條件下，利用圖4證明四邊形AEA′F是菱形．

Answer 1

（1）當(dāng)A′與B重合時(shí)，EF=5，當(dāng)折痕EF過點(diǎn)D時(shí)EF=，（2）①，②證明見解析

解：(1)5。
由折疊（軸對稱）性質(zhì)知A′D=AD=5，∠A=∠EA′D=90⁰。
在Rt△A′DC中，DC=AB=2，∴。
∴A′B=BC－A′C=5－4=1。
∵∠EA′B＋∠BEA′=∠EA′B＋∠FA′C=90⁰，∴∠BEA′=∠FA′C。
又 ∵∠B=∠C=90⁰，∴Rt△EBA′∽Rt△A′CF。∴，即
∴。
在Rt△A′EF中，。
（2）①。
②證明：由折疊（軸對稱）性質(zhì)知∠AEF=∠FEA′，AE=A′E，AF=A′F。
又 ∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEA′ 。∴∠AEF=∠AFE 。
∴AE=AF。∴AE=A′E=AF=A′F。
∴四邊形AEA′F是菱形。
(1)根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，當(dāng)A′與B重合時(shí)（如圖1），EF= AD=5。根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，以及勾股定理求出A′B、A′F和FC的長，由Rt△EBA′∽Rt△A′CF求得，在Rt△A′EF中，由勾股定理求得EF的長。
（2）①由圖3和圖4可得，當(dāng)時(shí)，四邊形AEA′F是菱形。
②由折疊和矩形的性質(zhì)，可得AE=A′E，AF=A′F。由平行和等腰三角形的性質(zhì)可得AE=AF。從而AE=A′E=AF=A′F。根據(jù)菱形的判定得四邊形AEA′F是菱形。