Question

【題目】在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，且，連接，作于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．

（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，問(wèn)題（1）中的結(jié)論是否依然成立？如果成立，請(qǐng)求出當(dāng)和面積相等時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）依然成立，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為．理由見解析.

【解析】

（1）做輔助線，通過(guò)已知條件證得與是等腰直角三角形．證出，利用全等的性質(zhì)即可得到.

（2）設(shè)AH，DF交于點(diǎn)G，可根據(jù)ASA證明△FCE≌△HFG，從而得到，當(dāng)和均為等腰直角三角形當(dāng)他們面積相等時(shí)，．利用勾股定理可以求DE、CE的長(zhǎng)，即可求出CE的長(zhǎng)，即可求得點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離．

（1）

證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)

∵在中，，，

∴

∵于點(diǎn)，且，

∴，與是等腰直角三角形．

∴，，，

∴，

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴

∴

∵于點(diǎn)，∴，∴

∴

∴

∴；

（2）依然成立

理由：設(shè)AH，DF交于點(diǎn)G，

由題意可得出：DF=DE，

∴∠DFE=∠DEF=45°，

∵AC=BC，

∴∠A=∠CBA=45°，

∵DF∥BC，

∴∠CBA=∠FGB=45°，

∴∠FGH=∠CEF=45°，

∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),DF∥BC，

∴DG=BC,DC=AC，

∴DG=DC，

∴EC=GF，

∵∠DFC=∠FCB，

∴∠GFH=∠FCE，

在△FCE和△HFG中

，

∴△FCE≌△HFG(ASA)，

∴HF=FC.

由（1）可知和均為等腰直角三角形

當(dāng)他們面積相等時(shí)，．

∴

∴

∴點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為．