Question

3．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（3，3），B（1，2），△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A₁OB₁．
（1）畫(huà)出△A₁OB₁，直接寫(xiě)出點(diǎn)B₁關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)B₂的坐標(biāo)；
（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出：以A、B、O、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)；
（4）求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AB所掃過(guò)的面積．

Answer 1

分析 （1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A₁、B₁，即可得到△A₁OB₁，再利用根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫(xiě)出點(diǎn)B₁關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)B₂的坐標(biāo)；
（2）分類討論：分別OA、AB、OB為平行四邊形的對(duì)角線畫(huà)出平行四邊形，然后寫(xiě)出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算；
（4）根據(jù)扇形面積公式，利用線段AB所掃過(guò)的面積=S_扇形A1OA-S_扇形B1OB進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖，△A₁OB₁為所作，點(diǎn)B₁關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)B₂的坐標(biāo)為（2，-1）；

（2）如圖，以A、B、O、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1）或（4，5）或（-2，-1）；
（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)=$\frac{90•π•\sqrt{5}}{180}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$π；
（4）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AB所掃過(guò)的面積=S_扇形A1OA-S_扇形B1OB=$\frac{90•π•（3\sqrt{2}）^{2}}{360}$-$\frac{90•π•（\sqrt{5}）^{2}}{360}$=$\frac{13}{4}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．利用分類討論的思想解決（3）小題，利用面積的和差解決（4）小題．