Question

（2012•南關(guān)區(qū)模擬）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AD=8cm，DC=8cm，AB=12cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AD勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA勻速運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度均為1cm/s，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作QM⊥AB交折線BC-CD于點(diǎn)M．以線段MQ為直角邊在MQ的左側(cè)作等腰直角△MQN，以線段AP為一邊在AP的右側(cè)作正方形APEF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△MQN與正方形APEF重疊部分的面積為S（cm）．

（1）求兩點(diǎn)N、F相遇時(shí)t的值；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)MN分別交PE、PA于點(diǎn)G、H，請(qǐng)直接寫出在此時(shí)段△PGH掃過平面部分的面積．

Answer 1

分析：（1）作CG⊥AB于G，由條件可以得出四邊形AGCD是矩形，就可以求出CG、GB的值，求出∠B的正切值，由QB就可以求出QM，從而求出FQ的值，根據(jù)AN+NQ+QB=AB建立方程就可以求出t值；
（2）分四種情況討論：①0＜t≤3；②3＜t≤4；③4＜t≤6；④6＜t≤8，畫出每一種情況下的圖形，再根據(jù)面積公式即可求解；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫出圖形可知，當(dāng)4≤t≤8時(shí)△PGH掃過的平面部分為梯形ADRL，根據(jù)圖形的面積公式即可求解．

解答：解：（1）作CG⊥AB于G，如圖1．
∴∠CGA=∠CGB=90°．
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°．
∵AB∥CD，
∴∠DCG=∠CGB=90°，
∴四邊形AGCD是矩形．
∵AD=8cm，DC=8cm，
∴AD=DC，
∴矩形AGCD是正方形．
∴AG=GC=CD=AD=8cm．
∵AB=12cm，
∴GB=4cm，
∴tan∠CBG=2．
∵QB=t，
∴MQ=2t．
∵△NQM是等腰直角三角形，
∴MQ=NQ=2t．
∵四邊形ANEP是正方形，
∴PA=NA=t，
∴t+2t+t=12，
∴t=3；

（2）①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，如圖2，S=0；
②當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖3．
∵QB=t，
∴MQ=NQ=2t，
∴AN=AB-NQ-QB=12-3t．
∵PA=AF=t，
∴NF=AF-AN=t-（12-3t）=4t-12，
∴GF=NF=4t-12，
∴S=S_△NFG=

1

2

•GF•NF=

1

2

（4t-12）²=8（t-3）²；
③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，如圖4．
∵QB=t，
∴AQ=AB-QB=12-t，
∴AN=NQ-AQ=8-（12-t）=t-4=AH，
∴PH=AP-AH=t-（t-4）=4，
∴S=S_{正方形APEF}-S_△PHG=t²-

1

2

×4×4=t²-8；
④當(dāng)6＜t≤8時(shí)，如圖5．
∵QB=t，
∴AQ=AB-QB=12-t，
∴AN=NQ-AQ=8-（12-t）=t-4=AH，
∴PH=AP-AH=t-（t-4）=4=PG，
∴S=S_矩形APKQ-S_△PHG=t（12-t）-

1

2

×4×4=-t²+12t-8；

（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4≤t≤8，由t=4與t=8時(shí)的圖形可知，
當(dāng)4≤t≤8時(shí)△PGH掃過的平面部分為梯形ADRL，如圖6．
∵RL=4（與t=4中圖形的DP相等），AD=8，DR=4，
∴S_梯形ADRL=

1

2

（RL+AD）•DR=

1

2

（4+8）×4=24．
故此時(shí)段△PGH掃過平面部分的面積為24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形、等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形、正方形的判定與性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，有一定難度．利用數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)鍵．