【題目】如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC平分∠DAB,∠ABD=52°,∠ABC=116°,∠ACB=α°,則∠BDC的度數為( 。
A. α B. α C. 90﹣α D. 90﹣α
【答案】C
【解析】分析:作CE⊥AB交AB的延長線于點E,作CF⊥AD交AD的延長線于點F,作CG⊥AB交BD于點G,由“AAS”證明△CBE≌△CBG,再由“HL”證明△CDG≌△CDF,得到∠CDG=∠CDF,由三角形內角和、外角和表示出∠FDB,進而可求出∠BDC的度數.
詳解:作CE⊥AB交AB的延長線于點E,作CF⊥AD交AD的延長線于點F,作CG⊥AB交BD于點G.
∵∠ABD=52°,∠ABC=116°,
∴∠CBE=180-116=64, ∠CBD=116-52=64,
∴∠CBE=∠CBD.
在△CBE和△CBG中,
∵∠CBE=∠CBD,
∠E=∠CGB=90,
BC=BC,
∴△CBE≌△CBG,
∴CE=CG.
∵AC平分∠DAB,CG⊥AB,CE⊥AB,
∴CE=CF,
∴CG=CF.
在△CDG和△△CDF中,
∵CG=CF,
CD=CD,
∴△CDG≌△CDF,
∴∠CDG=∠CDF.
∵∠ABC=116°,∠ACB=α°,
∴∠CAB=180-116-α=64 -α,
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAB=2(64 -α)=128-2α,
∴∠FDB=128-2α+52=180-2α,
∴∠BDC=(180+2α)=90-α.
故選C.
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【題目】如圖,在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,將此三角形繞點C沿順時針方向旋轉后得到三角形A′B′C,若點B′恰好落在線段AB上,AC、A′B′交于點O,則∠COA′的度數是( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
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【題目】小明在學習二次根式后,發(fā)現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,如:3+2=(1+)2,善于思考的小明進行了以下探索:
設a+b=(m+n)2(其中a、b、m、n均為整數),則有a+b=m2+2n2+2mn,∴a=m2+2n2,b=2mn,這樣小明就找到了一種把部分a+b的式子化為平方式的方法。
請我仿照小明的方法探索并解決下列問題:
(1)當a、b、m、n均為正整數時,若a+b=(m+n)2,用含m、n的式子分別表示a、b,得a=________, b=___________.
(2)若a+4=(m+n)2,且a、m、n均為正整數,求a的值。
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【題目】如圖,二次函數y=﹣x2+3x+m的圖象與x軸的一個交點為B(4,0),另一個交點為A,且與y軸相交于C點
(1)求m的值及C點坐標;
(2)在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M,使得它與B,C兩點構成的三角形面積最大,若存在,求出此時M點坐標;若不存在,請簡要說明理由
(3)P為拋物線上一點,它關于直線BC的對稱點為Q
①當四邊形PBQC為菱形時,求點P的坐標;
②點P的橫坐標為t(0<t<4),當t為何值時,四邊形PBQC的面積最大,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB.計算:
(1)若∠A=60°,求∠BOC的度數;
(2)若∠A=100°,則∠BOC的度數是多少?
(3)若∠A=120°,則∠BOC的度數又是多少?
(4)由(1)、(2)、(3),你發(fā)現了什么規(guī)律?請用一個等式將這個規(guī)律表示出來.
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【題目】某鎮(zhèn)水庫的可用水量為12000萬m3,假設年降水量不變,能維持該鎮(zhèn)16萬人20年的用水量.為實施城鎮(zhèn)化建設,新遷入了4萬人后,水庫只能夠維持居民15年的用水量.
(1)問:年降水量為多少萬m3?每人年平均用水量多少m3?
(2)政府號召節(jié)約用水,希望將水庫的使用年限提高到25年.則該鎮(zhèn)居民人均每年需節(jié)約多少m3水才能實現目標?
(3)某企業(yè)投入1000萬元設備,每天能淡化5000m3海水,淡化率為70%.每淡化1m3海水所需的費用為1.5元,政府補貼0.3元.企業(yè)將淡化水以3.2元/m3的價格出售,每年還需各項支出40萬元.按每年實際生產300天計算,該企業(yè)至少幾年后能收回成本(結果精確到個位)?
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【題目】如圖,四邊形ABCD的內角∠BAD、∠CDA的角平分線交于點E,∠ABC、∠BCD的角平分線交于點F.
(1)若∠F=70°,則∠ABC+∠BCD= ______ °;∠E= ______ °;
(2)探索∠E與∠F有怎樣的數量關系,并說明理由;
(3)給四邊形ABCD添加一個條件,使得∠E=∠F,所添加的條件為______.
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