Question

【題目】某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在做角的拓展圖形練習(xí)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：

（1）操作發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)為直線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，使將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線(xiàn)上，另一邊在直線(xiàn)的下方，如圖：將圖1中的三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角三角板的邊在的內(nèi)部，且恰好平分時(shí)，如圖2．則下列結(jié)論正確的是 （填序號(hào)即可）.

①②③平分④的平分線(xiàn)在直線(xiàn)上

（2）數(shù)學(xué)思考：同學(xué)們?cè)诓僮髦邪l(fā)現(xiàn)，當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，如果直角三角板的邊在的內(nèi)部且另一邊在直線(xiàn)AB的下方，那么與的差不變，請(qǐng)你說(shuō)明理由；如果直角三角板的、邊都在的內(nèi)部，那么與的和不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的和，不要求說(shuō)明理由．

（3）類(lèi)比探索：三角板繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角三角板的邊在的內(nèi)部時(shí)，如圖3，求與相差多少度？為什么？

Answer 1

【答案】（1）①②④；（2）如果直角三角板的邊在的內(nèi)部且另一邊在直線(xiàn)AB的下方，那么與的差不變，理由見(jiàn)解析；如果直角三角板的、邊都在的內(nèi)部，那么與的和不變，+=30°;③30°.

【解析】

（1）利用角平分線(xiàn)的定義結(jié)合直角三角板的內(nèi)角度數(shù)即可分別判斷得出答案；
（2）當(dāng)直角三角板的邊在的內(nèi)部且另一邊在直線(xiàn)AB的下方時(shí)根據(jù)∠COM=120°-∠BOM，∠BON=90°-∠BOM，可得出結(jié)果；當(dāng)直角三角板的、邊都在的內(nèi)部時(shí)，∠COM+∠BON=∠BOC-∠MON，可得出結(jié)果；
（3）因?yàn)椤?/span>MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

解：（1）∵，平分，∴，故①正確；

∵，，∴，，∴，故②正確；

∵，，∴不平分，故③錯(cuò)誤；

∵，，∴，∴的平分線(xiàn)在直線(xiàn)上，故④正確；

故答案為：①②④.

（2）與的差不變.理由如下：當(dāng)直角三角板的邊在的內(nèi)部且另一邊在直線(xiàn)AB的下方時(shí)，

∵∠COM=∠BOC-∠COM=120°-∠BOM，
∠BON=∠MON-∠BOM=90°-∠BOM，
∴∠COM-∠BON=120°-90°=30°；
與的和不變，其和為30°.理由如下：當(dāng)直角三角板的、邊都在的內(nèi)部時(shí)，∠COM+∠BON=∠BOC-∠MON=120°-90°=30°.

（3）∵，，

∴．