【題目】感知:如圖①,在正方形中,是一點,是延長線上一點,且,求證:;
拓展:在圖①中,若在,且,則成立嗎?為什么?
運用:如圖②在四邊形中,,,,是上一點,且,,求的長.
【答案】(1)見解析;(2)GE=BE+GD成立,理由見解析;(3)
【解析】
(1)利用已知條件,可證出△BCE≌△DCF(SAS),即可得到CE=CF;
(2)借助(1)的結(jié)論得出∠BCE=∠DCF,再通過角的計算得出∠GCF=∠GCE,由SAS可得△ECG≌△FCG,則EG=GF,從而得出GE=DF+GD=BE+GD;
(3)過C作CG⊥AD,交AD延長線于G,先證四邊形ABCG是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形),再設(shè)DE=x,利用(1)、(2)的結(jié)論,在Rt△AED中利用勾股定理構(gòu)造方程即可求出DE.
(1)證明:如圖①,在正方形ABCD中,BC=CD,∠B=∠ADC=90°,
∴∠CDF=90°,即∠B=∠CDF =90°,
在△BCE和△DCF中,
,
∴△BCE≌△DCF(SAS),
∴CE=CF;
(2)解:如圖①,GE=BE+GD成立,理由如下:
由(1)得△BCE≌△DCF,
∴∠BCE=∠DCF,
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD,
即∠ECF=∠BCD=90°,
又∵∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠ECF∠ECG=45°,則∠GCF=∠GCE,
在△GEC和△GFC中,
,
∴△GEC≌△GFC(SAS),
∴EG=GF,
∴GE=DF+GD=BE+GD;
(3)解:如圖②,過C作CG⊥AD于G,
∴∠CGA=90°,
在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠B=90°,
∴四邊形ABCG為矩形,
又∵AB=BC,
∴四邊形ABCG為正方形,
∴AG=BC=AB=16,
∵∠DCE=45°,由(1)和(2)的結(jié)論可得:ED=BE+DG,
設(shè)DE=x,
∵,
∴AE=12,DG=x4,
∴AD=AGDG=20x
在Rt△AED中,
由勾股定理得:DE2=AD2+AE2,
即x2=(20x)2+122
解得:,
即.
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【題目】近年來,“在初中數(shù)學教學候總使用計算器是否直接影響學生計算能力的發(fā)展”這一問題受到了廣泛關(guān)注,為此,某校隨機調(diào)查了n名學生對此問題的看法(看法分為三種:沒有影響,影響不大,影響很大),并將調(diào)查結(jié)果 繪制成如下不完整的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖,根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息,解答下列問題:
n名學生對使用計算器影響計算能力的發(fā)展看法人數(shù)統(tǒng)計表
看法 | 沒有影響 | 影響不大 | 影響很大 |
學生人數(shù)(人) | 40 | 60 | m |
(1)求n的值;
(2)統(tǒng)計表中的m= ;
(3)估計該校1800名學生中認為“影響很大”的學生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=-x+2分別交x軸、y軸于點A,B,點D在BA的延長線上,OD的垂直平分線交線段AB于點C.若△OBC和△OAD的周長相等,則OD的長是( )
A. 2B. 2C. D. 4
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【題目】問題情境:在綜合與實踐課上,同學們以“已知三角形三邊的長度,求三角形面積”為主題開展數(shù)學活動,小穎想到借助正方形網(wǎng)格解決問題.圖 1,圖 2 都是 8×8 的正方形網(wǎng)格,每個小正方形的邊長均為 1,每個小正方形的頂點稱為格點.
操作發(fā)現(xiàn):小穎在圖 1 中畫出△ABC,其頂點 A,B,C 都是格點,同時構(gòu)造正方形 BDEF, 使它的頂點都在格點上,且它的邊 DE,EF 分別經(jīng)過點 C,A,她借助此圖求出了△ABC 的面積.
(1)在圖 1 中,小穎所畫的△ABC 的三邊長分別是 AB= ,BC= ,AC
= ;△ABC 的面積為 . 解決問題:
(2)已知△ABC 中,AB=,BC=2 ,AC=5 ,請你根據(jù)小穎的思路,在圖 2的正方形網(wǎng)格中畫出△ABC,并直接寫出△ABC 的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(a,-2),B兩點.
(1)求反比例函數(shù)的表達式和點B的坐標;
(2)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點,過點P作y軸的平行線,交直線AB于點C,連接PO,若△POC的面積為3,求點P的坐標.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點G,點F是CD上一點,且滿足 ,連接AF并延長交⊙O于點E,連接AD、DE,若CF=2,AF=3,給出下列結(jié)論:①△ADF∽△AED;②CD=8;③tan∠E=;④S△ADE=6,其中正確的有個數(shù)是( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】小玲和弟弟小東分別從家和圖書館同時出發(fā),沿同一條路相向而行,小玲開始跑步中途改為步行,到達圖書館恰好用30min.小東騎自行車以300m/min的速度直接回家,兩人離家的路程y(m)與各自離開出發(fā)地的時間x(min)之間的函數(shù)圖象如圖所示
(1)家與圖書館之間的路程為多少m,小玲步行的速度為多少m/min;
(2)求小東離家的路程y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)求兩人相遇的時間.
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【題目】如圖,已知AB=AC,AD=AE,,若要得到△ABD≌△ACE,必須添加一個條件,則下列所添條件不恰當?shù)氖?( ).
A. BD=CEB. ∠ABD=∠ACEC. ∠BAD=∠CAED. ∠BAC=∠DAE
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【題目】如圖,直線y1=﹣x+4,y2=x+b都與雙曲線y=交于點A(1,m),這兩條直線分別與x軸交于B,C兩點.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)直接寫出當x>0時,不等式x+b>的解集;
(3)若點P在x軸上,連接AP把△ABC的面積分成1:3兩部分,求此時點P的坐標.
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