Question

高科技發(fā)展公司投資500萬元，成功研制出一種市場需求量較大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金1500萬元作為固定投資，已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本是40元．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)定為100元時(shí)，年銷售量為20萬件；銷售單價(jià)每增加10元，年銷售量將減少1萬件，設(shè)銷售單價(jià)為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利（年獲利=年銷售額一生產(chǎn)成本-投資）為z（萬元）．
（1）試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不寫x的取值范圍）；
（2）試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不寫x的取值范圍）；
（3）計(jì)算銷售單價(jià)為160元時(shí)的年獲利，并說明同樣的年獲利，銷售單價(jià)還可定為多少元？相應(yīng)的年銷售量分別為多少萬件？
（4）公司計(jì)劃，在第一年按年獲利最大確定銷售單價(jià)進(jìn)行銷售；到第二年年底獲利不低于1130萬元，請借助函數(shù)的大致圖象說明：第二年的銷售單價(jià)x（元）應(yīng)確定在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析：（1）依題意當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí)，年銷售量減少

1

10

（x-100），則易求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）由題意易得Z與x之間的函數(shù)關(guān)系．
（3）當(dāng)x=160時(shí)則可推出x²-340x+28800=0，解得x的值．在分別把x的兩個(gè)值代入y與x的函數(shù)關(guān)系式即可．
（4）把z與x的關(guān)系式化簡，得出當(dāng)x=170時(shí)，z取最大值．

解答：解：（1）依題意知，當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí)，年銷售量減少

1

10

（x-100）萬件，
∴y=20-

1

10

（x-100）=-

1

10

x+30，
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-

1

10

x+30．

（2）由題意得：
z=（30-

1

10

x）（x-40）-500-1500=-

1

10

x²+34x-3200，
即z與x之間的函數(shù)關(guān)系是z=-

1

10

x²+34x-3200．

（3）∵當(dāng)x=160時(shí)，z=--

1

10

×160²+34×160-3200=-320
∴-320=-

1

10

x²+34x-3200，
整理，得x²-340x+28800=0，
解得x₁=160，x₂=180．
即同樣的年獲利，銷售單價(jià)還可以定為180元，
當(dāng)x=160時(shí)，y=-

1

10

×160+30=14；
當(dāng)x=180時(shí)，y=-

1

10

×180+30=12．
即相應(yīng)的年銷售量分別為14萬件和12萬件．

（4）∵z=-

1

10

x²+34x-3200=-

1

10

（x-170）²-310．
∴當(dāng)x=170時(shí)，z取最大值，為-310，
即當(dāng)銷售單價(jià)為170元，年獲利最大，并且第一年年底公司還差310萬元就可收回全部投資．
第二年的銷售單價(jià)定為x元時(shí)，年獲利為：
z=（30-

1

10

x）（x-40）-310=-

1

10

x²+34x-1510．
當(dāng)z=1130時(shí)，即1130=-

1

10

x²+34x-1510，
整理得x²-340x+26400=0，
解得：x₁=120，x₂=220．
函數(shù)z=-

1

10

x²+34x-1510的圖象大致如圖所示，

由圖象可以看出：當(dāng)120≤x≤220時(shí)，z≥1130．
故第二年的銷售單價(jià)應(yīng)確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi)．

點(diǎn)評：本題主要考查的是學(xué)生的作圖能力以及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，難度偏難．