Question

【題目】如圖，已知矩形OABC，點P在邊OA上（不與端點重合），點Q在邊CO上（不與端點重合）．

（1）如圖（1），若∠BPQ＝90°，且△OPQ與△PAB和△QPB相似，請寫出表示這三個三角形相似的式子，并探究此時線段OQ、QB、BA之間的數(shù)量關(guān)系．

（2）若∠PQB＝90°，且△OPQ與△PAB、△QPB都相似，如圖（2），請重新寫出表示這三個三角形相似的式子，并證明AB：OA＝2：3．

（3）在（1）中，若OA＝8，OC＝8，OP＝CQ．以矩形OABC的兩邊OA、OC所在的直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（3），若某拋物線頂點為P，點B在拋物線上．

①求此拋物線的解析式．

②過線段BP上一動點M（點M與點P、B不重合），作y軸的平行線交拋物線于點N，若記點M的橫坐標(biāo)為m，試求線段MN的長L與m之間的函數(shù)關(guān)系式，畫出該函數(shù)的示意圖，并指出m取何值時，L有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】(1) BQ＝OQ+AB;（2）見解析；（3）①y＝x2﹣2x+8；②當(dāng)m取6時，L有最大值，且最大值為 2

【解析】

（1）要寫成三個三角形相似的式子，需要先找出相等的對應(yīng)角，首先由BC∥OA，確定∠CBP=∠BPA＞∠QBP，那么三個相似三角形的一組對應(yīng)角應(yīng)該是：∠QBP、∠QPO、∠ABP，顯然能得出∠QBP=∠ABP、∠OQP=∠BQP，那么過P作BQ的垂線，根據(jù)角平分線定理即可判斷出OQ、QB、BA三者之間的數(shù)量關(guān)系．

（2）同（1），先根據(jù)圖示確定相似三角形的對應(yīng)角，然后根據(jù)三個三角形的對應(yīng)頂點寫出三角形相似的式子；在△BQP、△BPA中，有公共邊BP，可確定兩者全等，那么BQ=AB，因此確定出∠CBQ的度數(shù)，即可確定AB、BC（OA）的比例關(guān)系，那么可以從△OQP、△CQB、△ABP這三個相似三角形入手．

（3）①首先結(jié)合（1）的解題過程，確定OP的長，進(jìn)而得出點P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式；

②首先利用待定系數(shù)法求出直線BP的解析式，然后根據(jù)直線BP、拋物線的解析式，用點M的橫坐標(biāo)表示出點M、N的縱坐標(biāo)，兩點縱坐標(biāo)的差即為L的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

（1）△OPQ和△ABP中，∵∠OPQ+∠APB＝90°，且∠APB+∠ABP＝90°，

∴∠OPQ＝∠ABP；

△BPQ和△ABP中，∵BC∥OA，∴∠APB＝∠CBP＞∠PBQ，

若兩個三角形相似，則：∠PBQ＝∠ABP；

∴∠OPQ＝∠ABP＝∠PBQ

又∵∠O＝∠A＝∠QPB＝90°，

∴△OPQ∽△ABP∽△PBQ．

在△OPQ和△PBQ中，∠OQP＝∠PQB，過P作PD⊥BQ于D，則 OQ＝QD；

同理，可得：BD＝AB，

∴BQ＝QD+BD＝OQ+AB．

（2）同（1）可確定∠QBP＝∠ABP，由圖知：∠QPO＝∠BPA

∴∠OQP＝∠ABP＝∠QBP，又∠BQP＝∠QOP＝∠BAP＝90°

∴△OPQ∽△APB∽△QPB．

由（1）的結(jié)論知：∠OQP＝∠QBC＝∠QBP＝∠ABP，且∠ABC＝90°，

∴∠QBC＝30°，則 BQ：CB＝2：＝2：3；

由△QPB∽△APB，且BP＝BP，所以△QPB≌△APB，得：AB＝BQ；

∴AB：BC＝2：3，即 AB：OA＝2：3．

（3）①由（1）的解答過程知：若△OPQ與△PAB和△QPB相似，則必須滿足的條件是∠QPB＝90゜；

此時∠OQP＝∠BQP、∠QBP＝∠ABP，由（1）題圖可知：OP＝AP＝PD；

∴OP＝AP＝OA＝4，即 P（4，0）；

設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣4）2，代入點B（8，8），得：

a（8﹣4）2＝8，解得 a＝

∴拋物線的解析式為：y＝（x﹣4）2＝x2﹣2x+8．

②設(shè)直線BP的解析式為：y＝kx+b，代入B（8，8）、P（4，0），得：

，解得

∴直線BP：y＝x﹣8．

已知點M的橫坐標(biāo)為m，則 M（m， m﹣8）、N（m， m2﹣2m+8），則有：

MN的長：L＝m﹣8﹣（m2﹣2m+8）＝﹣m2+3m﹣16（4＜m＜8）（如右圖）

配方，得：L＝﹣（m2﹣12m+72）+2＝﹣（m﹣6）2+2，

∴當(dāng)m取6時，L有最大值，且最大值為 2．