【題目】等邊△ABC中,點P由點A出發(fā)沿CA方向運動,同時點Q以相同的速度從點B出發(fā)沿BC方向運動,當點Q到達C點時,P,Q兩點都停止運動,連接PQ,交AB于點M.
(1)如圖①,當PQ⊥BC時,求證:AP=AM.
(2)如圖②,試說明:在點P和點Q運動的過程中,PM=QM.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)過A作AD⊥BC于D,由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAD,證出PQ∥AD,由平行線的性質(zhì)得出∠P=∠DAC,∠AMP=∠BAD,得出∠P=∠AMP,即可得出結論;
(2)過Q作QE∥AC交AB于E,證出△BQE是等邊三角形,得出BQ=EQ,證出EQ=AP,證明△PMA≌△QME(AAS),即可得出PM=QM.
(1)證明:過A作AD⊥BC于D,如圖①所示:
∵△ABC是等邊三角形,AD⊥BC,
∴AB=AC,∠BAD=∠CAD,
∵AD⊥BC,PQ⊥BC,
∴PQ∥AD,
∴∠P=∠DAC,∠AMP=∠BAD,
∴∠P=∠AMP,
∴AP=AM;
(2)證明:過Q作QE∥AC交AB于E,如圖②所示:
則∠BEQ=∠BAC,∠BQE=∠C,∠P=∠EQM,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠BAC=∠C=60°,
∴∠B=∠BEQ=∠BQE,
∴△BQE是等邊三角形,
∴BQ=EQ,
∵AP=BQ,
∴EQ=AP,
在△PMA和△QME中,,
∴△PMA≌△QME(AAS),
∴PM=QM.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°.
(1)作出經(jīng)過點B,圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點E的⊙O(要求:用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明)
(2)設(1)中所作的⊙O與邊AB交于異于點B的另外一點D,若⊙O的直徑為5,BC=4;求DE的長.(如果用尺規(guī)作圖畫不出圖形,可畫出草圖完成(2)問)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,直線l與⊙O相切于點D,且l∥BC
(1)求證:AD平分∠BAC
(2)作∠ABC的平分線BE交AD于點E,求證:BD=DE.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,點P在的圖象上,PC⊥軸于點C,交的圖象于點A,PC⊥軸于點D,交的圖象于點B. 當點P在的圖象上運動時,以下結論:
①
②的值不會發(fā)生變化
③PA與PB始終相等
④當點A是PC的中點時,點B一定是PD的中點.
其中一定不正確的是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直角坐標系中,△ABC的三個頂點的坐標分別為(2,1),(﹣1,3),(﹣3,2).
(1)在圖中作出△ABC關于x軸對稱的△A′B′C′,并寫出點A′的坐標為 ,點B的坐標為 ,點C′的坐標為 ;
(2)求△ABC的面積;
(3)若點P(a,a﹣2)與點Q關于y軸對稱,若PQ=8,求點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標系中,A(-2,1),B(-3,4),C(-1,3),過點(l,0)作x軸的垂線.
(1)作出△ABC關于直線的軸對稱圖形△;
(2)直接寫出A1(___,___),B1(___,___),C1(___,___);
(3)在△ABC內(nèi)有一點P(m,n),則點P關于直線的對稱點P1的坐標為(___,___)(結果用含m,n的式子表示).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)方程ax2+bx+c=0的兩個根為____________;
(2)不等式ax2+bx+c>0的解集為________;
(3)y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍為________;
(4)若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根,則k的取值范圍為________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D為AB延長線上一點,點E在BC邊上,且BE=BD,連接AE、DE、DC。
(1)求證:△ABE≌△CBD;
(2)若∠CAE=30°,求∠BCD的度數(shù)。
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